Развития геометрии в Древней Греции до Евклида

Согласно Архимеду, еще в V до н. э. Демокрит из Абдеры установил, что объем пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой. Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV до н. э.

В “Началах” Евклида доказывается, что в равновеликих пирамидах площади оснований обратно пропорциональны соответствующим высотам. Первое непосредственное вычисление объема пирамиды, дошедшее до нас, встречается у Герона Александрийского.

Интересно отметить, что в древних документах встречаются правила для определения объема усеченной пирамиды, о нет правил вычисления объема полной пирамиды. В “Московском папирусе” имеется задача, озаглавленная “Действия с усеченной пирамидой”, в которой излагается верное вычисление объема одной усеченной пирамиды. В вавилонских клинописных табличках также не встречается вычисление объема пирамиды, но зато в них есть много примеров вычисления объема усеченной пирамиды.

 

6.Пирамида и её сечение.

 

   Поверхность пирамиды состоит  из основания и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Одной из его вершин является  вершина пирамиды, а противолежащей  стороной – сторона основания  пирамиды.

   Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания (рис 1.).

Рис. 1 «Пирамида и её сечение»

 

7.Тетраэдр

 

Слово «тетраэдр» образовано из двух греческих слов: tetra – «четыре» и hedra – «основание, грань». Тетраэдр задается четырьмя вершинами; грани тетраэдра – четыре треугольника. В качестве основания может быть выбрана любая его грань.

Ортоцентрический тетраэдр:

Тетраэдр является ортоцентрическим тогда и только тогда, когда его противоположные ребра перпендикулярны; или середины всех шести ребер лежат на одной сфере; или все ребра описанного параллелепипеда равны (Рис.2).

 

Рис.2 «Ортоцентрический тетраэдр»

 

Прямоугольный тетраэдр:

Тетраэдр, в вершине которого сходятся три взаимно перпендикулярных ребра, называется прямоугольным.

Точка М и будет ортоцентром (Рис.3).

Рис.3 «Прямоугольный тетраэдр»

 

Свойства тетраэдра:

1.    описанный параллелепипед  равногранного тетраэдра –    прямоугольный ;

2.    у него имеется три  оси симметрии (это общие перпендикуляры, проведенные к противоположным ребрам, они же бимедианы. Однако этих симметрий хватает, чтобы можно было совместить любые две указанные грани или вершины, но не ребра.

3.    развертка тетраэдра, полученная  при разрезании его по трем  сходящимся в одной вершине  ребрам, – треугольник ; этот треугольник должен быть остроугольным, потому что тупоугольный или прямоугольный при сгибании по соседним линиям не сложится в тетраэдр). Набор самосовмещений произвольного равногранного тетраэдра не так богат, как у правильного тетраэдра.

4.    все трехгранные углы равны;

5.    все медианы равны;

6.    все высоты равны;

7.    центры вписанной и  описанной сфер и центроид  совпадают;

8.    радиусы описанных окружностей  граней равны;

9.    периметры граней равны;

10.   площади граней равны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Библиографический список

 

1. Весь Египет (Джованна Маджи, Паоло Джамбоне)

 

2. Математика. Справочник школьника (Г. Якушева)

 

3. Геометрия 10-11 класс (Л. С. Атасян, В. Ф. Бутузов)

 

4. Геометрия (В.Н. Литвиненко)

 

5. http://www.devious.by.ru

 

6. Сборник задач по Математике (М.И. Сканави)