Расчет показателей экономико-математической модели

1.3 Особенности задач динамического  программирования

На основании приведенных примеров можно выделить следующие особенности задач динамического программирования.

- Рассматривается система, состояние которой на каждом  шаге определяется вектором xt. Дальнейшее изменение ее состояния зависит только от данного состояния xt и не зависит от того, каким путем система пришла в это состояние. Такие процессы называются процессами без последействия.

- На каждом шаге выбирается  одно решение ut, под действием которого система переходит из предыдущего состояния xt-1 в новое хt. Это новое состояние является функцией состояния на начало интервала xt-1 и принятого в начале интервала решения ut, т. е. xt = xt(xt-1,ut).

- Действие на каждом  шаге связано с определенным  выигрышем (доходом, прибылью) или потерей (издержками), которые зависят от  состояния на начало шага (этапа) и принятого решения.

- На векторы состояния  и управления могут быть наложены  ограничения, объединение которых  составляет область допустимых  решений u Ω.

- Требуется найти такое  допустимое управление ut для каждого шага t, чтобы получить экстремальное значение функции цели за все Т шагов.

Любую допустимую последовательность действий для каждого шага, переводящую систему из начального состояния в конечное, называют стратегией управления. Стратегия управления, в результате которой можно получить экстремальное значение функции цели, называется оптимальной.

Геометрическая интерпретация задачи динамического программирования состоит в следующем. Пусть n - размерность пространства состояний. В каждый момент времени координаты системы имеют вполне определенное значение. С изменением времени t могут изменяться значения координат вектора состояния. Назовем переход системы из одного состояния в другое траекторией ее движения в пространстве состояний. Такой переход осуществляется воздействием на координаты состояния. Пространство, в котором координатами служат состояния системы, называется фазовым. Особенно наглядно задачу динамического программирования можно интерпретировать в случае, если пространство состояний двухмерно. Область возможных состояний в этом случае изобразится некоторой фигурой Ω, начальное и конечное состояния системы - точками х0, xt Ω. Управление это воздействие, переводящее систему из начального состояния в конечное. Для многих экономических задач не известно начальное либо конечное состояние, а известна область X0 или XT, которой эти точки принадлежат. Тогда допустимые управления переводят точки из области Х0 в XT. Задача динамического программирования геометрически может быть сформулирована следующим образом: найти такую фазовую траекторию, начинающуюся в области Х0 и оканчивающуюся в области ХT, для которой функция цели достигает экстремального значения. Если в задаче динамического программирования известны начальное и конечное состояния, то говорят о задаче с закрепленными концами. Если известны начальные и конечные области, то говорят о задаче со свободными концами.

 

1.4 Примеры задач динамического  программирования

Приведем еще несколько типичных задач, для решения которых необходимым является применение метода динамического программирования. Задача перспективного планирования. Задача заключается в следующем: пусть планируется деятельность группы N промышленных предприятий П, (i=) на период в t (t =) хозяйственных лет. В начале периода на развитие системы предприятий выделены какие-то средства, обозначим их К, которые должны быть распределены между предприятиями. В процессе деятельности предприятия вложенные в него средства частично амортизируются. Каждое предприятие за год работы приносит доход, который зависит от вложенных в процесс производства средств. Часть этих средств отчисляется в фонд предприятий. В начале каждого хозяйственного года имеющиеся средства перераспределяются между предприятиями. Таким образом, возникает задача определения объема средств в начале каждого года, которые нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарный чистый доход за Т лет был максимальным. Это типичная задача динамического программирования. Здесь процесс принятия решения разбивается на Т шагов. Управление им заключается в начальном распределении и последующих перераспределениях средств ut ={}, где объем средств, выделенных i-му предприятию в начале t-го года. Для описания динамики системы вводится вектор состояния хt={}, где состояние i-го предприятия на начало t-го года. В свою очередь состояние каждого предприятия является вектором, координатами которого служат трудовые ресурсы, основные фонды, финансовое положение и т. д., т. е. =(). Очевидно, что вектор управления это функция состояния системы на начало соответствующего года: ut = ut(xt-1), при этом начальное состояние системы x0 может быть заданным. Целевой функцией будет суммарная прибыль объединения за Т лет, тогда, если zt прибыль за t-й год, то получим задачу

 

max Z = , u Ω,

где Ω область допустимых управлений, или множество экономических возможностей, определяемых различными ограничениями, которые налагаются на состояние системы и вектор управления.

Задача об оптимальном управлении поставками. В различных областях народного хозяйства возникает задача определения момента подачи партии поставки и ее объема. С размещением заказов связаны некоторые фиксированные затраты К, не зависящие от величины заказываемой партии, а зависящие только от факта заказа. С содержанием материальных ресурсов связаны затраты, пропорциональные остатку нереализованной продукции на конец интервала планирования. Пусть Т - промежуток планирования. Обозначим через vt интенсивность потребления ресурса в t-м интервале. Состояние системы будем описывать величиной остатка нереализованной продукции на конец интервала хt, при этом начальное х0 и конечное хt состояния системы можно считать заданными. Для обеспечения непрерывности потребления поставками нужно управлять. Обозначим через u = {ut} вектор управления, координаты которого величина поставок в начале соответствующих интервалов планирования. Очевидно, что вектор управления есть функция состояния на начало интервала. Из множества возможных управлений требуется выбрать такое, при котором достигается минимум издержек на заказ и содержание материальных ресурсов. Если St издержки содержания единицы продукции в t-м интервале, то функция цели примет вид:

min Z = ,

Состояние системы опишется соотношением хt = xt-1 + ut - vt (t = ). На состояние системы может быть наложено ограничение, связанное с надежностью снабжения: хt ≥ x0, где х0 - величина некоторого страхового запаса, защищающего с заданной надежностью от сбоев в системе. Объединение ограничений, налагаемых на состояние системы и вектор управления, обозначим через Ω.

Получим задачу:

min Z = , u Ω.

 

2. Задача о замене оборудования

Задача о замене оборудования (обновлении, восстановлении, перестройке) имеет важное значение. Рассмотрим ее в упрощенной постановке Известно, что оборудование со временем изнашивается, стареет физически и морально. В процессе эксплуатации, как правило, падает его производительность и растут эксплуатационные расходы на текущий ремонт. Со временем возникает необходимость замены оборудования, так как его дальнейшая эксплуатация обходится дороже, чем ремонт или замена. Отсюда задача о замене может быть сформулирована так: в процессе работы оборудование дает ежегодно прибыль, требует эксплуатационных затрат и имеет остаточную стоимость. Эти характеристики зависят от возраста оборудо вания. В любом году оборудование можно сохранить, продать по остаточной цене и приобрести новое. В случае сохранения оборудования возрастают эксплуатационные расходы и понижается производительность. При замене нужны значительные дополнительные капитальные вложения. Задача состоит в определении оптимальной стратегии замен в плановом периоде с тем, чтобы суммарная прибыль за этот период была максимальной.

Для количественной формулировки задачи введем следующие обо значения r(t) стоимость продукции, производимой за год на единице оборудования возраста t лет, u(t) расходы, связанные с эксплуатацией этого оборудования, s(t) остаточная стоимость оборудования возраста t лет, р покупная цена оборудования, Т - продолжительность планового периода, t = 0, 1, 2, , Т номер текущего года.

Решение

Чтобы решить задачу, применим принцип оптимальности Беллмана. Рассмотрим интервалы (годы) планового периода в последовательности от конца к началу. Введем функцию условно-оптимальных значений функции цели Fk(t). Эта функция показывает максимальную прибыль, получаемую от оборудования возраста t лет за последние k лет планового периода. Здесь возраст оборудования рассматривается в направлении естественного хода времени. Например, t = 0 соответствует использованию совершенно нового оборудования. Временные же шаги процесса нумеруются в обратном порядке. Например, при k = 1 рассматривается последний год планового периода, при k = 2 последние два года и т. д., при k = T последние T лет.

В этой задаче систему составляет оборудование. Ее состояние характеризуется возрастом. Вектор управления это решение в момент t = 0, 1, 2, +, Т о сохранении или замене оборудования. Для нахождения оптимальной политики замен следует проанализировать, согласно принципу оптимальности, процесс от конца к началу. Для этого сделаем предположение о состоянии оборудования на начало последнего года (k = 1). Пусть оборудование имеет возраст t лет. В начале T-го года имеется две возможности: 1) сохранить оборудование на T - й год, тогда прибыль за последний год составит r(t) u(t), 2) продать оборудование по оста точной стоимости и купить новое, тогда прибыль за последний год будет равна s(t) р + r (0) u(0), где r(0) стоимость продукции, выпущенной на новом оборудовании за первый год его ввода, u(0) эксплуата ционные расходы в этом году. Здесь целесообразно разворачивать про цесс от конца к началу. Для последнего года (k=1) оптимальной политикой с точки зрения всего процесса будет политика, обеспечивающая максимальную прибыль только за последний год. Учитывая значение прибыли при различном образе действия (замена сохране ние), приходим к выводу, что решение о замене оборудования возраста t лет следует принять в случае, когда прибыль от нового оборудования на последнем периоде больше, чем от старого, т. е. при условии

s(t) - p + r(0) - u(0) > r(t) - u(t)

Если же

 

s(t) - p + r(0) - u(0) < r(0) - u(0)

то старое оборудование целесообразно сохранить. Итак, для последнего года оптимальная политика и максимальная прибыль F1(t) находятся из условия

Пусть k = 2, т. е. рассмотрим прибыль за два последних года. Де лаем предположение о возможном состоянии t оборудования на начало предпоследнего года. Если в начале этого года принять решение о со хранении оборудования, то к концу года будет получена прибыль r(t) u(t). На начало последнего года оборудование перейдет в состоя ние t + 1 и при оптимальной политике в последнем году оно принесет прибыль, равную F1 (t+1). Значит общая прибыль за два года составит r(t) u(t) + F1(t + 1). Если же в начале предпоследнего года будет принято решение о замене оборудования, то прибыль за предпоследий год составит

s(t) p + r(0) - u(0).

Поскольку приобретено но вое оборудование, на начало последнего года оно будет в состоянии t = 1. Следовательно, общая прибыль за последние два года при оптимальной политике в последнем году составит

s(t) - p + r(0) - u(0) + F1(1)

Условно оптимальной в последние два года будет политика, доставляющая максимальную прибыль

Аналогично находим выражения для условно оптимальной прибыли за три последних года, четыре и т. д. При k=T получим max Z = FT (t0).

Таким образом, разворачивая весь процесс от конца к началу, получаем, что максимальная прибыль за плановый период Т составит FT(t0). Так как начальное состояние t0 известно, из выражения для FT(t0) находим оптимальное решение в начале первого года, потом вытекающее из него оптимальное решение для второго года и т. д. Обратимся к числовому примеру. Практическое применение рассмотренной выше схемы представлено в приложении.

 

3. Расчет показателей  экономико-математической модели

Решим задачу замены оборудования на плановый период в N = 10 лет, оборудование пятилетнего возраста (T = 5).

В начале планового периода продолжительности в N лет имеется оборудование возраста t, известна стоимость r(t) продукции, производимой в течение года с использованием этого оборудования; ежегодные расходы u(t) связанные с эксплуатацией оборудования; его остаточная стоимость s; стоимость p нового оборудования (сюда же включены затраты, связанные с установкой, запуском оборудования). Данные задачи приведены в таблице.

	Возраст оборудования
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
r(t)	30	30	29	29	29	28	28	27	27	26	26
u(t)	10	10	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Для решения задания применим принцип оптимальности Беллмана. Рассмотрим интервалы времени, т.е. годы, планового периода от конца к началу. Обозначим функцию условно-оптимальных значений функции цели Fk(t) - максимальную прибыль, которая будет получена от использования оборудования возраста t лет за последние k лет планового периода.

Запишем функциональные уравнения для последнего года планового периода F1(t) и последних k лет планового периода Fk(t) при исходных числовых значениях параметра:

Пользуясь этими выражениями, будем последовательно вычислять значения максимальной прибыли Fk(t) и записывать их в табл. 1. Первую строку получим, придавая параметру t в равенстве (1) значения 0, 1, 2, +, 10 и используя исходные данные. Например при t = 0: = 20 (сохранение).

Аналогично расчет ведется до t = 9: = 7 (сохранение).

Заметим, что если прибыль от нового оборудования ровна прибыли от старого, то старое лучше сохранить еще на год. При t = 10= = = 7 (замена).

Из табл.1 видно, что r(t) - λ(t) с ростом t убывает. Поэтому при t > 9 оптимальной будет политика замены оборудования. Чтобы различать, в результате какой политики получается условно-оптимальное значение прибыли, будем эти значения разграничивать (до t = 9 включительно оптимальной является политика сохранения). Для заполнения второй строки табл.1, используем формулу (2) для k = 2:

Придавая параметру t значения 0, 1, 2,+ ,10, используя исходные данные и значения F1(t+1) из первой строки таблицы, заполним вторую строку. Например, при t = 4= = =28(сохранение).

Для третьей строки таблицы используем формулу (2) для k = 3:= = и т.д.

Таблица 1

т	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
F1(t)	20	20	17	16	15	13	12	10	9	7	7
F2(t)	40	37	33	31	28	27	27	27	27	27	27
F3(t)	57	53	48	44	44	44	44	44	44	44	44
F4(t)	73	68	61	60	60	60	60	60	60	60	60
F5(t)	88	81	77	76	75	75	75	75	75	75	75
F6(t)	101	97	93	91	90	88	88	88	88	88	88
F7(t)	117	113	108	106	104	104	104	104	104	104	104
F8(t)	133	128	123	120	120	120	120	120	120	120	120
F9(t)	148	143	137	136	135	135	135	135	135	135	135
F10(t)	163	157	153	151	150	150	150	150	150	150	150