Прошлое и настоящее комплексных чисел

    6.  Геометрический смысл  алгебраических операций. 

    Пусть даны два комплексных числа z1 и z2. В результате сложения этих чисел  получается число z3, изображаемое вектором 0С диагонали параллелограмма 0АСВ (по правилу параллелограмма сложения векторов): z1+z2=0A+0B=0C=z3.

    Разность (z1-z2) данных чисел, соответствующая  их вычитанию, можно рассматривать  как сумму вектора 0А, изображающего  число z1 и вектора 0D=--0В, противоположного вектору 0В (симметричного ему относительно начала координат): z1-z2=z1+(-z2)=0A+0D=0E=BA. Таким образом, разности (z1-z2) данных чисел соответствует вектор ВА другой диагонали параллелограмма 0АСВ.

    Для иллюстрации остальных алгебраических действий над комплексными числами более удобна тригонометрическая форма.

    Умножение. Пусть даны два комплексных числа z1=r1(cosφ1+isinφ1) и z2=r2(cosφ2+isinφ2). Перемножая их получим z1z2=r1r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)). Следовательно, при умножении комплексных чисел  их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило верно и для любого числа сомножителей.

    Деление. Если требуется разделить z1 на z2, то выполняем следующие преобразования: z1/z2=(z1z2)/(z2z2)=(r1(cosφ1+isinφ1)r2(cosφ2-isinφ2))/ (r2(cosφ2+isinφ2)r2(cosφ2-isinφ2))=(r1/r2)(cos(φ1-φ2)+isin(φ1-φ2)), т.е. при делении двух комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

    Возведение  в степень. Умножая число z=r(cosφ+isinφ) само на себя «n» раз, получаем согласно правилу умножения zn=rn(cosφ+isinφ)n=rn(cosnφ+isinnφ). Таким образом, при возведении комплексного числа в степень «n» в ту же степень возводимся его модуль, а аргумент умножается на «n» (на показатель степени). В частном случае, если r=1, то предыдущее равенство принимаем вид (cosφ+isinφ)n= cosnφ+isinnφ (9). Полученная формула называется формулой Муавра (1667-1754).

    Извлечение  корня. Пусть а=reiφ, z=ρeiσ. Решаем уравнение zn=a для вычисления n√a: ρneinσ=reiφ. Отсюда с учетом того, что аргументы чисел  отличаются на целое кратное числу 2π, получаем: ρn=r, nσ-φ=2πK, или ρ=n√r; σK+1=(φ+2πK)/n (причем К=0,1,2…n-1). Таким образом, zk=n√r(cosφ+isinφ)=n√r((cosφ+2Kπ)/n+isin(φ+2Kπ)/n))         (10), где n√r , - арифметический корень, а К=0,1,2,…,n-1; т.е. корень степени n в множестве комплексных чисел имеет “n” различных значений zk (исключение представляет z=0. В этом случае все значения корня равны между собой и равны нулю).

    Заметим также, что разность между аргументами  соседних чисел zk+1 и zk постоянна и  равна 2π/n: σk+1-σk=(φ+2π(K+1))/n-(φ+2πK)/n=2π/n. Отсюда следует, что все значения n√a располагаются на комплексной плоскости в вершинах некоторого правильного n-угольника с центром в начале координат. 
 
 
 
 
 
 
 

    7. Формула Кардано. 

    Рассмотрим  приведенное алгебраическое уравнение 3-ей степени: x3+ax2+bx+c=0     (11).

    С помощью замены x=y-a/3 это уравнение  примет вид y3+py+q=0     (11’), где p и q – новые коэффициенты, зависящие  от a,b,c. Пусть у0 – какой либо корень уравнения (11’). Представим его в  виде у0=α+β, где α и β – неизвестные  пока числа, и подставим в уравнение. Получим α3+β3+

    +(α+β)(3αβ+p)+q=0  (12). Выберем теперь α и β  так, чтобы 3αβ+р=0. Такой выбор  чисел α и β возможен, т.к.  они (вообще говоря комплексные)  удовлетворяют системе уравнений  

          α+β=у0;

         αβ=-р/3, а значит, существуют. 

    При этих условиях уравнение (12) примет вид  α3+β3+q=0, а т.к. еще           α3β3=-р3/27, то получаем систему 

        α3+β3=-q;

       α3β3=-р3/27,

из которой  по теореме Виета следует, что  α3 и β3 являются корнями уравнения t2+qt-p3/27=0. Отсюда находим: α3=-q/2+√q2/4+p3/27;                    β3=-q/2-√q2/4+p3/27, где √q2/4+p3/27 означает одно из возможных значений квадратного корня. Отсюда следует, что корни уравнения (11’) выражаются формулой D=(q/2)2+(p/3)3.

y1.2.3=n√-q/2+√q2/4+p3/27+3√-q/2-√q2/4+p3/27, причем для каждого из трех значение первого корня 3√α соответствующие значения второго корня 3√β нужно брать так, чтобы было выполнено условие αβ=-р/3. Полученная формула называется формулой Кардано (ее можно записать в более компактном виде у=3√α+3√β, где α=-q/2+√q2/4+p3/27; β=-q/2-√q2/4+p3/27. Подставив в нее вместо р и q их выражения через a,b,c и вычитая а/3, получим формулу для уравнения (11).

8. Метод Феррари  для уравнения  4-ой степени. 

    Рассмотрим  приведенное уравнение 4-ой степени x4+ax3+bx2+cx+d=0      (13). Сделав замену переменной х=у-а/4, получим уравнение у4+ру2+qy+r=0   (14) c коэффициентами p,q,r, зависящими от a,b,c,d. Преобразуем это уравнение к виду (y2+p/2)2+qy+(r-p2/4)=0, а затем, введя произвольное пока число α, представим его левую часть в равносильной форме                          

     (y2+p/2+α)2-[2α(y2+p/2)+α2-qy+p2/4-r]=0  (15).

    Выберем теперь число α так, чтобы выражение  в квадратных скобках       2αy2-qy+(αp+α2+p2/4-r)  стало полным (точным) квадратом относительно у. Для этого  нужно, чтобы его дискриминант был равен нулю, т.е. чтобы           q2-8α(αp+α2+p2/4-r)=0, или 8α3+8pα2+8α(p2/4-r)-q2=0. Таким образом, для нахождения α получается уравнение 3-ей степени, и задача сводится к предыдущей. Если в качестве «α» взять один из корней этого уравнения, то левая часть уравнения (15) будет разностью квадратов и поэтому может быть разложена в произведение двух многочленов 2-ой степени относительно «у». 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

9. Заключение. 

    В настоящем реферате дано понятие  комплексных чисел, история  их возникновения. Рассмотрены различные формулы для вычисления комплексных чисел. В реферате также рассмотрена  геометрическая интерпретация комплексных чисел в виде векторов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

10. Литература. 

1.  Кураш  А.Г. «Алгебраические уравнения  произвольных степеней». М., «Наука», 1983.

2.  Маркушевич  А.И. «Комплексные числа и конформные  отображения». М., «Физматгиз», 1960.

3.  Стройк  Д.Я. «Краткий очерк истории  математики». М., «Наука», 1969.

4.  Яглом  И.И. « Комплексные числа и  их применение в геометрии». М., Физматгиз, 1963.

5.  Справочник  по элементарной математике (для  поступающих в ВУЗы) под редакцией  Фильчакова П.Ф. «Наукова Думка», Киев – 1972.

6. Н.В. Богомолов «Практические занятия по математике», М., «Высшая школа», 1999.