Проектирование комбинационных схем

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ‹‹Московский государственный университет путей сообщения›› 

 

Кафедра: Управление и защиты информации

 

 

Курсовая работа

По дисциплине «Математические основы теории систем»

 

Тема работы: «Проектирование комбинационных схем» 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва, 2014 год

 

Содержание

1. Задание на курсовую работу………………………………………………….3
2. Введение………………………………………………………………………..3
3. Описание структуры входных и выходных сигналов схемы……………….3
4. Составление таблицы состояний …………………………………………….4
5. Аналитическая запись логических функций и их минимизация…………...6
6. Разработка функциональной схемы……………………………………….....9
7. Заключение………………………………………………………………...…10
8. Список использованной литературы………………………………………..10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Задание на курсовую работу

Задачей курсовой работы является построение комбинационной схемы. Но прежде чем приступать к ее проектированию нужно определить структуру входных и выходных сигналов, составить таблицу состояний, в которой мы определим соответствие разрядов входного и выходного кодов. По таблице необходимо составить функции алгебры логики для каждой выходной переменной, и провести их минимизацию. И конечным этапом будет составление функциональной схемы проектируемого устройства [1].

Задание:

(Вариант № 7)

Преобразовать трёхразрядный код Грея в код Джонсона.

 

2.Введение

Для того чтобы свести один двоичный код к другому при помощи схем, реализующих вышеупомянутые функции, необходимо чётко представлять структуру кода на входе и на выходе и учесть все особенности. На следующем этапе необходимо составить таблицу состояний, в которой должно быть чётко отражено соответствие одной кодовой другой (целесообразно и наглядно через десятичный эквивалент). По таблице необходимо составить логические функции, которые впоследствии должны быть минимизированы в соответствии с правилами булевой алгебры (алгебры логики). Только после выполнения этих действий можно приступать к проектированию комбинационной схемы [2].

 

 

Данная комбинационная схема представляет собой схему защиты. Она будет иметь  три входа и четыре выхода.

A,b,c – входные переменные.

z1,z2,z3,z4,z5 – выходные функции, значения которых зависит от входных переменных.

 

 

 

 

 

3. Описание структуры входных и выходных сигналов.

Входной сигнал:

Двоичный код Грея относится к классу специальных кодов, носящих название отражённых или рефлексных.

Этот код представляет собой трёхразрядную комбинацию. Под такой комбинацией понимается три ячейки, каждая из которых может содержать либо ноль, либо единицу. Таким образом, код Грея имеет такое же число возможных комбинаций, как и трёхразрядный код на все сочетания 23 (то есть 8).

Из комбинации, записанной в трёхразрядном коде на все сочетания, соответствующая комбинация кода Грея получается путём сложения исходной комбинации и той же комбинации, но сдвинутой на разряд вправо по модулю 2 ( ). При этом учитываются три разряда слева направо.

Надо отметить, что при промежуточных операциях перевода кода на все сочетания в код Грея важно знать правила сложения по модулю 2: 
 
0 0 = 0

1 0 = 1 

0 1 = 1

1 1 = 0

Особенностью кода Грея является то, что соседние комбинации отличаются значением только в одном разряде, например десятичные 2 и 3 в коде Грея – 011и 010, соответственно различаются младшим разрядом, а 5 и 6 (111 и 101) – средней ячейкой.

Особенность кода Грея используется, в частности, при применении кода Грея в устройствах, преобразующих перемещение или угол поворота вала в двоичный цифровой эквивалент. Различие соседних кодовых комбинаций в одном разряде позволяет при этом уменьшить ошибки неоднозначности считывания цифровой информации [1].

Выходной сигнал:

Код Джонсона. Этот код относится к классу двоично-десятичных. Здесь каждому разряду десятичного числа соответствует комбинация из пяти двоичных разрядов, в которой число единиц,начиная с младшего разряда,для чисел от 0 до 5 возрастает на единицу с увеличением цифры десятичного числа,а для чисел,больших 5, - уменьшается на единицу.

Так,цифре 3 соответствует комбинация 00111,а цифра 7 – 11100.

   Цифра каждого  десятичного разряда преобразуется  независимо [1].

 

4. Составление таблицы состояний

Кодовые комбинации трёхразрядного кода Грея получаются путём сложения по модулю два ( ) трёхразрядных кодов на все сочетания и соответствующих трёхразрядных кодов на все сочетания, сдвинутых на разряд вправо. При этом последняя цифра (младший разряд) отбрасывается.

0	1	2	3	4	5	6	7
000	001	010	011	100	101	110	111
000	001	010	011	100	101	110	111
000	001	011	010	110	111	101	100

 

 

0 0 = 0             

1 0 = 1               

0 1 = 1

1 1 = 0

Таблица состояний – это один из способов описания работы комбинационных схем. Она записывается в соответствии с особенностями, указанными в пунктах 1и 2. Выпишем слева в таблице все возможные комбинации входного кода, а справа – соответствующие им комбинации вsходного кода.

 

 

 

№	Разряды входной комбинации.			Разряды выходной комбинации.
	a	b	C	Z1	Z2	Z3	Z4	Z5
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	1	0	0	0	0	1
2	0	1	1	0	0	0	1	1
3	0	1	0	0	0	1	1	1
4	1	1	0	0	1	1	1	1
5	1	1	1	1	1	1	1	1
6	1	0	1	1	1	1	1	0
7	1	0	0	1	1	1	0	0

 

5. Аналитическая запись логических функций и их минимизация

5.1.    Особенности выбора метода минимизации

Для сокращения числа устройств, входящих в состав проектируемой комбинационной схемы необходимо выполнить некоторые преобразования логической функции, которые позволяют получить необходимый результат на выходе с использованием минимально возможного числа входных данных. Такие преобразования называются минимизацией логической функции. 
Существует два основных способа минимизации логических функций: а) приведение к МДНФ (минимальной дизъюнктивной нормальной форме); б) приведение к МКНФ (минимальной конъюнктивной нормальной форме). При этом каждый способ минимизации можно вести одним из двух методов. Для МДНФ возможен метод минимизации с помощью карт Карно (по единицам) или метод минимизации с помощью импликатных матриц. Для МКНФ также возможен метод минимизации с помощью карт Карно (по нулям) или метод минимизации с помощью имплицентных матриц.

На основе анализа полученной таблицы состояний видно, что методы минимизации с помощью карт Карно целесообразно проводить, как для получения МДНФ, так и для получения МКНФ, поскольку число входных переменных меньше, чем четыре. При составлении карт Карно для функций с числом входных переменных большем, чем четыре возникают существенные технический сложности с их разметкой. По этой причине, в рассматриваемой ситуации изящный и наглядный метод минимизации логических функций, коим является минимизация с помощью карт Карно, целесообразен.

Решая задачу выбора дизъюнктивной или конъюнктивной совершенной нормальной формы необходимо провести анализ выходной комбинации. При этом необходимо учитывать однородность форм записи. Это означает: либо все функции будут записаны в МКНФ, либо в МДНФ. Соответственно, для начала нужно с помощью таблицы состояний записать функцию в СКНФ (совершенной конъюнктивной нормальной форме) по нулям, или в СДНФ (совершенной дизъюнктивной нормальной форме) по единицам. Так как для каждой выходной функции количество нулей и единиц равное, то целесообразно провести минимизацию как МДНФ, так и в МКНФ методом импликатных и имплицентных матриц, соответственно. После указанных преобразований легко будет определить лучшую форму минимизации для построения комбинационной схемы [2].

2. Нахождение МДНФ

Запишем логические функции по «единицам», используя таблицу состояний, в СДНФ по правилам алгебры логики, а именно «нулевой» сигнал примем за инверсию соответствующей входной переменной, а «единичный» сигнал – за саму переменную. Таким образом, получаем дизъюнкцию конъюнктивных членов (сумму произведений), представляющую собой СДНФ:

 

 

 

                                    

                                    

Карта Карно для функции z1:

Разметим карту Карно и заполним ее по СДНФ минимизируемой функции, то есть проставим единицы в элементарных квадратах, соответствующих каждому конъюнктивному члену заданной СДНФ функции z, а остальных-0.

Z1=b+

Карта Карно для функции z2:

 

 

Z2=b+ac

 

 

Карта Карно для функции z3:

 

Z3=a+b

 

 

Карта Карно для функции z4:

 

Z4=a

 

Карта Карно для функции z5:

 

Z5=ac+ab=a(b+c)

 

6. Составление функциональной схемы

По полученной минимальной форме выходной функции составим функциональную схему. Построение в  базисе {И,ИЛИ,НЕ}. Будем использовать логические элементы, соответствующие ГОСТ 2743-72 ЕСКД : (представлены на рис.1) [1].

 

Рис.1.

 

 

7.Заключение

В данной курсовой работе мы прошли все этапы проектирования комбинационных схем – от составления входного кода, до чертежа функциональной схемы. В процессе разработки были получены теоретические знания о различных видах двоичных комплектных кодов и закреплены практикой – построением таблицы состояний. Также, были рассмотрены все основные законы алгебры логики, применяемые для минимизации функций, рассмотрены основные методы минимизации, например, карты Карно.

Особенностью схемы защиты кода по весу является то, что вне зависимости от количества входных переменных, выходной код будет состоять из одного разряда. Когда вес кода не удовлетворяет заданному – на выходе устанавливается «1», которая ведет к стиранию пришедшего кодового слова.

Используя базис {И, ИЛИ, НЕ}, можно создавать системы высокой сложности, позволяющие выполнять любые логические операции над входными переменными.

 

8.Список использованной литературы

1. Ермолин Ю.А. «Проектирование комбинационных схем». Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Математические основы теории систем». Москва, 2006.

 

2. Савельев А.Я. Прикладная теория цифровых автоматов. 1987.