Оглавление

Введение 3

Теоретическая часть 4

Практическая  часть 9

Заключение 12

Собственные мысли 13

Список  литературы 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

      В данной теоретико-практической работе будет рассмотрена схема непрерывных марковских цепей – так называемая «схема гибели и размножения»

      Данная  тема крайне актуальна ввиду высокой  значимости марковских процессов в  исследовании экономических, экологических  и биологических процессов, кроме  того, марковские процессы лежат в  основе теории массового обслуживания, которая в настоящее время  активно используется в различных  экономических направлениях, в том  числе управлении процессами на предприятии.

      Марковские  процессы гибели и размножения находят широкое применение в объяснении различных процессов происходящих в биосфере, экосистеме и т.д. Надо отметить, что данный тип марковских процессов получил свое название именно вследствие широкого применения в биологии, в частности моделируя гибель и размножение особей различных популяций.

      В данной работе будут использованы процессы гибели и размножения при решении задачи, целью которой является нахождение приблизительного количества пчел в отдельно взятой популяции. 
 
 
 
 
 
 

Теоретическая часть

В рамках теоретической части будут  написаны алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний. Очевидно, что если две непрерывные цепи Маркова имеют одинаковые графы состояний и различаются только значениями интенсивностей ,

Рис. 1.1

то можно сразу найти предельные вероятности состояний для каждого из графов в отдельности, достаточно составить и решить в буквенном виде уравнения для одного из них, а затем подставить вместо соответствующие значения. Для многих часто встречающихся форм графов линейные уравнения легко решаются в буквенном виде.

В данной работе будет описана схема непрерывных марковских цепей — так называемая «схема гибели и размножения».

Марковская  непрерывная цепь называется «процессом гибели и размножения», если ее граф состояний имеет вид, представленный на рис. 1.1, т. е. все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S₂, ..., S_n-1) связано прямой и обратной связью с каждым из соседних состояний, а крайние состояния (S₁, S_n) — только с одним соседним состоянием.

Для записи алгебраических уравнений для  предельных вероятностей состояний  возьмем некую задачу.

Пример. Техническое устройство состоит из трех одинаковых узлов; каждый из них может выходить из строя (отказывать); отказавший узел немедленно начинает восстанавливаться. Состояния системы нумеруем по числу неисправных узлов:

S₀— все три узла исправны;

S₁— один узел отказал  (восстанавливается), два исправны;

S₂— Два  узла  восстанавливаются,  один  исправен;

S₃— все три узла восстанавливаются.

Граф  состояний показан на рис. 1.2. Из графа видно, что процесс, протекающий в системе, представляет собой процесс «гибели и размножения».

Рис. 1.2

Схема гибели и размножения очень часто  встречается в самых разнообразных  практических задачах; поэтому имеет  смысл заранее рассмотреть эту  схему в общем виде и решить соответствующую систему алгебраических уравнений с тем, чтобы в дальнейшем, встречаясь с конкретными процессами, протекающими по такой схеме, не решать задачу каждый раз заново, а пользоваться уже готовым решением.

Итак, рассмотрим случайный процесс гибели и размножения с графом состояний, представленным на рис. 1.3

Рис. 1.3

Напишем алгебраические уравнения для вероятностей состояний. Для первого состояния S₁ имеем:

     (1.2)

Для второго состояния S₂ суммы членов, соответствующих входящим и выходящим стрелкам, равны:

Но, в силу (1.2), можно сократить справа и слева равные друг другу члены и получим:

и далее, совершенно аналогично,

…

Одним словом, для схемы гибели и размножения  члены, соответствующие стоящим друг над другом стрелкам, равны между собой:

    (1.3)

где k принимает все значения от 2 до n.

Итак, предельные вероятности состояний р_ъ р₂> ..., р_п в любой схеме гибели и размножения удовлетворяют уравнениям:

(1.4)

и нормировочному условию:

 (1.5)

Решим эту систему следующим образом: из первого уравнения (1.4) выразим р₂:

(1.6)

из  второго, с учетом (1.6), получим

(1.7)

из  третьего, с учетом (1.7):

и вообще

(1.8)

Эта формула справедлива для любого k от 2 до п.

Обратим внимание на ее структуру. В числителе  стоит произведение всех плотностей вероятности перехода (интенсивностей) стоящих у стрелок, направленных слева направо, с начала и вплоть до той, которая идет в состояние S_k; в знаменателе — произведение всех интенсивностей , стоящих у стрелок, идущих справа налево, опять-таки, с начала и вплоть до стрелки, исходящей из состояния S_k. При k=n в числителе будет стоять произведение интенсивностей , стоящих у всех стрелок, идущих слева направо, а в знаменателе — у всех стрелок, идущих справа налево.

Итак, все вероятности  выражены через одну из них: . Подставим эти выражения в нормировочное условие: . Получим:

откуда

(1.9)

Остальные вероятности выражаются через

(1.10)

Таким образом, задача «гибели и размножения» решена в общем виде: найдены предельные вероятности состояний. 
 
 
 
 
 
 
 

Практическая  часть

Процессы  Маркова, в частности гибели и  размножения, используют для описания работы и анализа широкого класса систем с конечным числом состояний, в которых происходят неоднократные  переходы из одного состояния в другое под воздействием каких-либо причин. В таких системах они происходят случайным образом, скачкообразно  в произвольный момент времени, когда  наступают некоторые события (потоки событий). Как правило, они бывают двух типов: одно из них условно называют рождением объекта, а второе —  его гибелью.

Естественное  размножение пчелиных семей —  роение — с точки зрения протекающих  в системе в текущий момент времени процессов можно рассматривать  как вероятностный процесс, когда  семья в определенный момент времени  может перейти из рабочего состояния  в роевое. В зависимости от различных  факторов, как контролируемых технологических, так и слабоконтролируемых биологических  и климатических, оно может закончиться  роением или возвратом семьи  в рабочее состояние. При этом семья может неоднократно переходить то в одно, то в другое состояние. Таким образом, для описания математической модели процесса роения допустимо применять  теорию однородных процессов Маркова.

Интенсивность перехода пчелиной семьи в роевое состояние   — размножение — в значительной мере определяется темпами накопления молодых бездеятельных пчел. Интенсивность обратного перехода   — «гибели» — возвращением семьи в рабочее состояние, которая, в свою очередь, зависит собственно от роения, отбора расплода и пчел (формирование отводков), количества собираемого нектара и т.д.

Вероятность перехода пчелиной семьи в роевое состояние в первую очередь будет  определяться интенсивностью проходящих в ней процессов, приводящих к  роению λ, и противороевых приемов μ, которые зависят от технологий, используемых для снижения ройливости семей. Следовательно, чтобы влиять на обсуждаемые процессы, необходимо изменить интенсивность и направленность потоков λ и μ (рис. 1).

 
 

Моделирование отбора из семьи части пчел (увеличения их «гибели») показало, что вероятность  возникновения рабочего состояния  логарифмически возрастает, а вероятность  роения логарифмически сокращается. При  противороевом приеме — отборе из семьи 5–7 тыс. пчел (две-три стандартные  рамки) — вероятность роения составит 0,05, а вероятность рабочего состояния  — 0,8; отбор более трех рамок с  пчелами снижает вероятность  роения на очень малую величину.

Решим практическую задачу, касающуюся процесса роения у пчел.

Для начала построим граф, похожий на граф на рис 1, с интенсивностями перехода в  то или иное состояние.

ЗАДАЧА 1

Имеем следующий  граф, представляющий собой процесс  гибели и размножения.

  

Где - это рабочее состояние, - роевое состояние, - роение.

Имея  интенсивности перехода в то или  иное состояние, можем найти предельные вероятности состояний для данного процесса.

Используя формулы, приведенные в теоретической  части находим: 
 
 
 

Получив предельные вероятности состояний, можем свериться с таблицей с  целью нахождения приблизительного числа особей (сот шт. пчел) и количество отобранных рамок с расплодом, получаем, что, скорее всего, было отобрано 5000 пчел и одна рамка с расплодом.

 

Заключение

      Подведем  итог.

      В данной работе была приведена теоретическая  справка, а также практическое применение марковским процессам гибели и размножения  на примере пчелиной популяции, также была решена практическая задача с использованием марковского процесса гибели и размножения.

     Было  показано, что марковские процессы имеют прямое отношение ко многим процессам, происходящим в окружающей среде и в экономике. Также  марковские процессы лежат в основе теории массового обслуживания, которая  в свою очередь является незаменимой  в экономике, в частности при  управлении предприятием и различными процессами, происходящими в нем.