Применение дифференциальных уравнений при решении задач в экологии

где                              

Полагая, что при , решим уравнение (16) методом разделения переменных. Для этого умножим обе части уравнения (16) на , получим

                                                   

                                                 .

 

Проинтегрировав обе части, придем к общему решению

                                             .                                                      (17)

Преобразуем уравнение (17), вычислив интеграл от дробно-рациональной функции . Разложим данную дробь на сумму простейших, методом неопределенных коэффициентов.

Как известно

        

                             ,

где А и В – некоторые числовые коэффициенты. Чтобы их найти выпишем уравнение

                                           .

Сравнивая коэффициенты, при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства имеем систему

                          

                                  

 

Таким образом мы нашли разложение подынтегральной функции на простые дроби

                         .       

Следовательно                                                  

 Тем самым (16) примет вид

                                                .                                                 (18)

Умножим левую и правую часть уравнения (18) на a, получим                                                                                                

                                              ,                                                   (19)

или                                   где произвольная постоянная

                                        

Получим неявную формулу для общего решения

                                                  .       

  

Выражая отсюда х получаем

                                             ,

  или                                       

                                           ,

                                            .      

откуда                                         

                         где        произвольная постоянная                 (20)

   Функция (20) есть общее решение уравнения (16). Воспользуемся начальным условием при и найдем частное решение.

   Подставляя ,    в (18) имеем              

                                                .

Выразим отсюда , для этого проделаем простые преобразования

                                       ,

или

                                       .

Отсюда видим

                                        .

Подставим найденную константу в общее решение (20) и преобразуем полученное частное решение.

   

    Подставим найденную константу в уравнение (20) и преобразуем его

 

                                           .

  Откуда                    

                                       .                                                     

Умножив получившееся уравнение на     и поделив на b, получаем

                                                                             (21)

  

   Функция (21), которое является решением рассмотренной модели. Из него видно что при число особей в популяции При этом возможны два случая: и . Различие между этими случаями хорошо видно из рис.1.

 

 

 

                                                               

                                        Рис 1

 

Отметим, что соотношение (16) описывает, в частности, популяции фруктовых вредителей и некоторых видов бактерий.     

      Если рассматривается  несколько существующих видов, например, больших и малых рыб, где малые  рыбы являются кормом для больших, то, составляя дифференциальные  уравнения для каждого вида, получим систему дифференциальных уравнений. [1]

              

                              

   

 

Модель 3

     Рассмотрим более подробно двухвидовую модель «хищник – жертва», которая впервые была построена Вольтера для объяснения колебаний рыбных уловов в Адриатическом море, имеющих один и тот же период, но отличающихся по фазе.

    Пусть х – число  больших рыб-хищников, которые питаются  малыми рыбами – жертвами, число которых обозначено через у. Тогда число рыб-хищников будет расти до тех пор, пока у них будет достаточно пищи, т.е. малых рыб-жертв, но в конце концов наступит ситуация, когда корма не будет хватать и в конце концов наступит ситуация, когда корма не будет хватать и в результате число больших рыб начнет уменьшаться. Это приведет к тому, что с некоторого момента число малых рыб снова начнет увеличиваться. Это будет способствовать новому росту числа больших особей, и цикл снова повторится. Модель, построенная Вольтера, имеет вид

 

                                                                                                        (22)

                                                                                                         (23)

 Где a, b, c, d – положительные константы.

     В уравнении (22) для больших рыб слагаемое bxy выражает зависимость прироста больших рыб от численности больших.

     Для удобства исследования  последних двух уравнений введем в рассмотрение безразмерные переменные

 

                                 ,      .                                (24)

    Подставим переменные  (21) в модель уравнений, получим

                                                 

 

                                                

                                                 

Продифференцируем оба уравнения модели

                                         ,

                                          .

Преобразуем уравнения

                                           ,

                                           .                                                    (25)

Выразим из (25)   и  , получим

                                           

                                           

                                             

    В результате дифференциальные уравнения (20) и (21) примут вид

                                                                                       (26)                                

Где а штрих обозначает дифференцирование по

     Предположим, что в некоторый момент число особей обоих видов известно, т.е.

                              

Заметим, что в дальнейшем мы интересуемся только положительными решениями. Выявим связь между u b v. Для этого, разделив первое уравнение системы (19) на второе и затем проинтегрировав полученное дифференциальное уравнение, получили

                                                  

Решим уравнение методом разделения переменных. Поделим обе части уравнения на   

                                                  

       Тогда                           

      Мы получили уравнение с разделенными переменными, решим его проинтегрировав обе части равенства

                                  .

Получили        

                            , где H произвольная постоянная

Упростим уравнение, тогда

                                

                                

Или

                                                                                       (27)

Уравнение (23) есть общее решение модели 3. Воспользуемся начальными условиями

                                           

Найдем частное решение

                                       

                                         

 

       Где – постоянная, определяемая начальными условиями (11) и параметром .

       На рис 2 показан вид графиков как функции при различных значениях Н. Как видно из этого рисунка в плоскости имеются только замкнутые кривые. Предположим теперь, что начальные значения и задаются точкой А на траектории , соответствующей значению . Поскольку то первое уравнение из системы (10) показывает, что

 

 

 

 

 

 

                                               Рис 2

 

переменная вначале убывает. Аналогичный факт имеет место и для переменной . Далее, когда переменная достигает значения, ровного единице, то и затем в течение длительного времени переменная

будет возрастать. Когда же то и затем уже возрастать начинает переменная . Таким образом, как переменная , так и переменная пробегают замкнутую траекторию. А это означает, что решения являются функциями, периодическими по времени. При этом максимум не попадает на максимум , т.е. колебания в популяции происходят в разных фазах. Типичный график зависимости и от времени показан на рис. 3 (в случае ). [1]

 

                              

                                          Рис 3

 

Заключение.

 

   В данной курсовой работе  мы провели исследование связи науки экологии с дифференциальными уравнениями.

   В ходе выполнения данной  работы мы ознакомились с одной  из важных проблем математической  экологии – это проблема устойчивости экосистем и управление этими системами, которое может осуществляться для перевода системы из одного устойчивого состояния в другое, с целью её использования или восстановления.

   Исходя из данной работы, становится очевидна степень  важности применения дифференциальных уравнений в экологии, как и в других отраслях. В рассмотренной отрасли, то есть в экологии, первостепенную роль играет дифференциальное моделирование, другими словами – получение дифференциального уравнения путем исследования какого-либо явления или процесса протекающего в экологии, в окружающем нас мире, например, модель «хищник-жертва».

 

 

 

 

Список используемой литературы

1. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях
2. Виленкин Н. Я. Дифференциальные уравнения / М: «Просвещение», 1984
3. Горелов А.А. Экология – наука - моделирование. – М., 2007 г.