Практическая работа по "Математике"

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального  образования

Уральский государственный  экономический университет

ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ 
 
 
 

Кафедра  «Национальная  экономика» 
 
 
 
 

      ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1  
 

По дисциплине математика 
 

  
 

Вариант №8  
 
 

Студентка 1 курса гр. ЭПБп – 10КФ 

Федосеева Надежда  Валерьевна 

Преподаватель: Петрова

 Светлана  Николаевна 
 
 
 
 
 
 
 

Екатеринбург 2010 год

Федеральное агентство по образованию

      ГОУ ВПО 

Уральский государственный экономический университет

ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ 

РЕЦЕНЗИЯ  НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ 

 

Задание 1.

     Вычислить сумму матриц kA+mB, если ,

к = - 6  m = 3

Решение:

     Элементы  матрицы суммы определяются по формуле:

c_ij=ka_ij+mb_ij.

     Вычислим  элементы первой строки матрицы суммы:

с₁₁=(-6)·2+3 ·3=-3; с₁₂=(-6)·(-1)+3 ·7=27; с₁₃=(-6)·4+3 ·(-2)=-30.

     Аналогично  вычисляем остальные элементы:

С₂₁=(-6)·6+3 ·9=-9; с₂₂=(-6)·3+3 ·1=-15; с₂₃=(-6)·0+3 ·6=18.

С₃₁=(-6)·(-7)+3 ·(-4)=30; с₃₂=(-6)·5+3 ·8=-6; с₃₃=(-6)·9+3 ·5=-39.

     Таким образом, матрица суммы примет вид:

       

Задание 2.  

     Вычислить определитель третьего порядка:

Решение:

     Определителем третьего порядка матрицы 

       

называется  число, которое определяется следующим  образом:

      Для вычисления определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников: 
 
 

     Используя правило треугольников, вычислим определитель:

Задание 3.  

     Решить  систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение:

     Система линейных уравнений имеет вид:

     

     Составим  расширенную матрицу: поменяем местами  первую и третью строки:

     

     Чтобы исключить переменную из третьего уравнения, умножим первую строку на 2 и прибавим к третьей строке:

       

     Разделим  третью строку на 3:

     

     Чтобы исключить третью переменную из третьего уравнения, умножим вторую строку на (-5) и прибавим к третьей строке:

     

     Получили  систему уравнений, равносильную исходной системе, в которой первое уравнение  содержит три переменных, второе –  две,  а третье – одну переменную:

     Первые уравнение разделим на (-2) получим:

       

     Отсюда последовательно находим:

     Таким образом, решение системы:

.

     Проверяем полученное решение, подставляя найденные  значения в исходную систему:

 

 

Все равенства  верные, следовательно, система уравнений  решена, верно. 

Задание 4.  

     Найти косинус угла между векторами  и , если  А (6; 8; -4), если  В(4; 1; 10) и С(9;3; 6).

Решение:

     По  координатам концов найдем эти векторы:

      ,

     Отсюда 

Найдем  скалярное произведение

     

Применяя  теперь формулу, получим

     

       
 

Задание 5.  

Вычислить объем тетраэдра АВСD и его высоту DH, если А(3;2;5);

     В(4;-7;2); С(2;-4;-6) и D(7;2;7) 
 
 

       
 
 
 
 
 
 
 

Решение:

     Объем тетраэдра (с учетом знака), вершины  которого находятся в точках А, В, С и D равен:

      . Вычислим объем тетраэдра АВСD:

      49 (куб.ед.)

     (определитель раскрыли по первой строке)

     С другой, стороны объем тетраэдра  равен  . Откуда высота равна: . В основании лежит треугольник АВС, площадь которого определяется как модуль векторного произведения векторов и :

      ₌

      ₌

_{* =}

Тогда площадь  основания  и высота тетраэдра . 

Задание 6.  

     Написать  уравнение плоскости, проходящей через  точку М₁ и перпендикулярно вектору :  М₁ (6;8;3), М₂ (4;-4;10), М₃ (9;0;6).

Решение:

     Найдем  координаты вектора нормали  к плоскости  

     

     Уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно вектору , где А, В, С – координаты вектора нормали:   . В нашем случае  тогда уравнение плоскости примет вид: М₁ (6;8;3), , поэтому

          

Задание 7.  

     Вычислить угол между плоскостями A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, если А₁=6; В₁=8; С₁=3; D₁=4; А₂=-4; В₂=10; С₂=9; D₂=0.

Решение:

     Угол  между двумя плоскостями определяется по формуле:

     Таким образом, получаем

     Тогда угол между плоскостями равен: .