Поверхности второго порядка

Конус второго порядка

Рассмотрим на плоскости Oxz пару пересекающихся прямых, заданную уравнением   

.

 Поверхность, получаемая  вращением этой линии вокруг  оси Oz, имеет уравнение

и называется прямым круговым конусом. Сжатие к плоскости Oxz приводит прямой круговой конус в поверхность с уравнением

                                                      .        (6)

Поверхность, которая в декартовой системе координат имеет уравнение (6), называется конусом второго порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.11

Определение. Конической поверхностью называется поверхность, описываемая прямой (образующей конуса), проходящей через данную точку (вершину конуса) и пересекающей данную линию (направляющую конуса).

Очевидно, что направляющей конуса может быть произвольная расположенная  на конусе линия, обладающая тем свойством, что любая прямолинейная образующая пересекает её в одной и только одной точке. Примерами направляющих конуса (6) могут служить его сечения плоскостями  x=h,y=h,z=h, где . Сечение конуса (6) плоскостью z=h, определяется уравнениями

        .

Очевидно, сечение представляет собой эллипс с полуосями  ,  монотонно возрастающими вместе с   от нуля до .

Плоскость z=0 пересекает конус в точке . 

Сечениями конуса плоскостями y=h и x=h являются гиперболы с полуосями где монотонно возрастающими вместе с от нуля до . Плоскости x=0   и y=0  пересекают конус по парам прямых.

Плоскими сечениями  конуса (6) являются и параболы. Так, например, параболой будет сечение конуса (6) плоскостью вида

  где .

Нетрудно показать, что в этом случае сечением является парабола, определяемая уравнением      .

Координатные плоскости  являются плоскостями симметрии  конуса (6), а начало координат –  его центром симметрии.

 

Однополостный гиперболоид

Однополостный гиперболоид  вращения – это поверхность, образованная вращением гиперболы

вокруг той оси, которая её не пересекает, то есть вокруг оси Oz. По формуле (1) мы получаем  уравнение однополостного гиперболоида вращения

.

В результате сжатия этой поверхности мы получаем поверхность с уравнением

     .    (7)

Поверхность, которая  в некоторой декартовой прямоугольной  системе координат имеет уравнение (7), называется однополостным гиперболоидом. Уравнение (7) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Рассмотрим сечения гиперболоида (7) плоскостями, параллельными координатной плоскости Oxy. Сечение определяется уравнениями

           .

Отсюда видно, что плоскость  пересекает гиперболоид (7) по эллипсу с полуосями

 и расположенному симметрично относительно плоскостей Oxz и Oyz.

Величины а^* и b^* имеют наименьшие значения при h=0 (тогда a^*=a ,b^*=b) и бесконечно возрастают при бесконечном возрастании . Эллипс, образующийся в сечении координатной плоскостью z=0, называется горловым эллипсом однополостного гиперболоида (7).

Плоскость , параллельная координатной плоскости Oxz при пересекает гиперболоид (7) по гиперболе с полуосями

;  .

Величины а^* и с^* имеют наибольшие значения при (тогда а^*=а, с^*=с) и монотонно убывают до нуля при возрастании .

При она пересекает гиперболоид (7) по паре прямых, имеющих уравнение

.

При сечением является гипербола с полуосями

; ,

возрастающими от нуля до , когда возрастает от b до . Мнимые (действительные) оси гипербол, получающиеся при , параллельны действительным (мнимым) осям гипербол, получающимся при .

Аналогично рассматриваются  сечения гиперболоида (7) плоскостью , параллельной координатной плоскости Oyz .

Однополостный гиперболоид  обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии (при данном выборе координатной системы эти плоскости совмещены с координатными плоскостями, а начало координат – центр симметрии).

Величины a, b, c называются полуосями однополостного гиперболоида.

Самым замечательным свойством гиперболоида (7) является наличие у него прямолинейных образующих. Через любую точку гиперболоида (7) проходит ровно две различных прямых, целиком на нём лежащих. Такие поверхности называются линейчатыми.

Два семейства прямолинейных образующих однополостного гиперболоида (7) могут быть описаны при помощи следующих систем уравнений

,

,

где - произвольные числа, такие, что .

  

Двуполостный  гиперболоид

Двуполостный гиперболоид  вращения – это поверхность вращения гиперболы

вокруг той оси, которая  её пересекает, то есть оси Oz.

По формуле (1) мы получаем уравнение двуполостного гиперболоида вращения

.

В результате сжатия этой поверхности получается поверхность  с уравнением                                 .                                      (8)

Поверхность, которая  в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение вида (8), называется двуполостным гиперболоидом. Двум ветвям гиперболы соответствуют здесь не связанные между собой части – «полости» -  поверхности, в то время, как например, при построении однополостного гиперболоида вращения каждая ветвь гиперболы описывает всю поверхность.

Рассмотрим сечения  гиперболоида (8) плоскостями, параллельными  координатным.

Плоскость z=h при не пересекает гиперболоид, при имеет с гиперболоидом единственную точку ((0,0,с) при и (0,0,-с) при h=-c), при пересекает гиперболоид (8) по эллипсу с полуосями

; ,

монотонно возрастающими (от 0 до ), когда возрастает от с до .

Любая плоскость  пересекает гиперболоид (8) по гиперболе с полуосями и , монотонно возрастающими (от 0 до ), когда возрастает от нуля до .

 Аналогично рассматриваются сечения двуполостного гиперболоида плоскостью  x=h. Двуполостный гиперболоид обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии (при данном выборе координатной системы эти плоскости являются координатными плоскостями, а начало координат – центром симметрии).

Величины a, b, c называются полуосями двуполосного гиперболоида.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.13

 

 

Эллиптический параболоид

При вращении параболы  вокруг её оси симметрии, то есть оси Oz, мы получим поверхность с уравнением

,

называемую параболоидом вращения. Сжатие к плоскости  у=0 переводит параболоид вращения в поверхность с уравнением

              .    (9)

Поверхность, которая имеет такое уравнение в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется эллиптическим параболоидом.

Рассмотрим сечения  параболоида (9) плоскостями, параллельными координатным.

Плоскость z=h при h<0 пересекает параболоид, при h=0 имеет с ним единственную общую точку, при h>0 пересекает параболоид по эллипсу с полуосями

,   ,

монотонно возрастающими вместе с h от нуля до .

Плоскости y=h и x=h пересекают параболоид (9) по параболам с параметрами p и q, с вершинами в точках и и с ветвями, направленными вверх.

            Рис.14

Плоскости x=0 и y=0 являются плоскостями симметрии параболоида (9). При других плоскостей симметрии у него нет.

Рассмотрим ещё один тип поверхностей второго порядка.

 

Гиперболический параболоид

Простейшим уравнением гиперболического параболоида является

                  ;   (p>0,q>0).    (10)

Плоскость y=0 пересекает поверхность (10) по параболе

                                                  .     (*)

Плоскость x=0 пересекает поверхность (10) по параболе  .

Рассмотрим сечения  параболоида (10) плоскостями, параллельными  координатным плоскостям Oxz  и   Oyz.

Сечение гиперболического параболоида (10) плоскостью x=h определятся уравнениями

                          (**)

                                           .

 

Очевидно, оно представляет собой параболу с ветвями, направленными  вниз, и вершиной в точке  . То есть при x=h вершина параболы (**) лежит на параболе (*).

Таким образом, гиперболический  параболоид (10) можно рассматривать как поверхность образованную движущейся параболой, ось симметрии которой находится в плоскости Oxz, а вершина скользит по параболе (**).

 

 

 

 

 

 

 

Рис.15

Сечение поверхности (10) плоскостью z=0 есть две пересекающиеся прямые

                                     и   .

Сечение поверхности (10) плоскостью z=h , определяется уравнениями

  

.

 

Оно представляет собой  гиперболу с полуосями  и .

 

ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Определение. Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная движением прямой, которая называется прямолинейной образующей.

Простейшими примерами  линейчатых поверхностей являются цилиндры и конусы. Но кроме них среди поверхностей второго порядка линейчатыми являются однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид.

Рассмотрим наличие прямолинейных образующих на примере однополостного гиперболоида

                     .

Преобразуем это уравнение  к виду

                     или   .

Составим систему первой степени

                                     , k – произвольное

При различных значениях k эти уравнения определяют прямую линию. Меняя k, получаем семейство прямых, целиком лежащих на поверхности однополостного гиперболоида.

Существует и другое семейство прямолинейных образующих однополостного гиперболоида

                                      , l – произвольное.

Линейчатые поверхности  широко используются в строительстве. Идея их использования принадлежит  известному русскому инженеру, почётному члену АН СССР Шухову Владимиру Григорьевичу (1853-1939). Шухов осуществил конструкцию мачт, башен и опор из металлических балок, располагая их по образующим однополостного гиперболоида. Лёгкость и прочность конструкций определила их распространение и у нас, и за рубежом.

 

Список используемой литературы

1. Александров, П.С. Лекции по аналитической геометрии / П.С. Александров. СПб.: Лань, 2008.

2. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.В. Беклемишев. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

3. Бугров Я.С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Дрофа, 2004.

4. Веселов А.П. Лекции по аналитической геометрии / А.П. Веселов, Е.В. Троицкий. СПб.: Лань, 2003.

5. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. М.: Оникс, 2005. Ч. 1.

6. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии / Н.В. Ефимов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005

7. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д.В. Клетеник. СПб.: Лань, Профессия, 2010.