Поверхности второго порядка

                                                    МИНОБРНАУКИ РОССИИ

      Федеральное  государственное бюджетное образовательное  учреждение 

                                высшего профессионального образования

    «Томский государственный  архитектурно-строительный университет»

                                                           (ТГАСУ) 

                                Факультет: Инженерно-экологический

                                Кафедра : Высшая математика

 

 

 

 

                                Реферат

                           На тему:     «Поверхности второго порядка».

 

                                                                          

 

                                                 

 

                                                                           Выполнила : студентка

                                                                           Проверила: 

 

 

 

 

 

 

                                                         Томск 2012

 

  Содержание:

 

Глава1…………………………………………………………………………………........................................... 3  

1.1. Определение декартовой системы координат……………………………....3

1.2. Типы поверхностей второго порядка…………………………………………………………………..4

1.3 Таблица уравнений поверхностей второго порядка…………………………………………….7

Примечания………………………………………………………………………………………………………………….12

Список литературы……………………………………………………………………………………………………….13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1.

1. Определение декартовой системы координат.

Декартова система координат  в пространстве определяется точкой и базисом из трех векторов. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенныечерез начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. В трехмерном пространстве они называются осями абсцисс, ординат и аппликат. Оси координат являются числовыми осями с началом в точке O , положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора. Координатами точки M называются координаты вектора OM (радиус–вектора) (см. рис. 1). Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной.

 

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов  ,  ,  ,  ,  ,   отличен от нуля.

 

 

 

 

 

 

2. Типы поверхностей второго порядка

Цилиндрические поверхности

Поверхность   называется цилиндрической поверхностью с образующей  , если для любой точки   этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей  , целиком принадлежит поверхности  .

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности). 
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность   имеет уравнение  , то   — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси  .

Кривая, задаваемая уравнением   в плоскости  , называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если  направляющая цилиндрической поверхности  задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр:	Параболический цилиндр:	Гиперболический цилиндр:
Пара совпавших прямых:	Пара совпавших плоскостей:	Пара пересекающихся плоскостей:

Конические поверхности

Коническая поверхность.

 

 

Поверхность   называется конической поверхностью с вершиной в точке  , если для любой точки   этой поверхности прямая, проходящая через   и  , целиком принадлежит этой поверхности.

Функция   называется однородной порядка  , если   выполняется следующее: 

Теорема (об уравнении конической поверхности). 
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность   задана уравнением  , где   — однородная функция, то   — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если  поверхность   задана функцией  , являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то   называется конической поверхностью второго порядка.

• Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

      Поверхности вращения

Поверхность   называется поверхностью вращения вокруг оси  , если для любой точки   этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости   с центром в   и радиусом  , целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности  вращения). 
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность   задана уравнением  , то   — поверхность вращения вокруг оси  .

Эллипсоид:	Однополостной гиперболоид:	Двуполостной гиперболоид:	Эллиптический параболоид:

В случае, если  , перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.

 

Гиперболический параболоид

 

 

 

Гиперболический параболоид.

Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

Уравнение гиперболического параболоида:

При сечении гиперболического параболоида  плоскостью   поверхность порождает гиперболу.

При сечении гиперболического параболоида  плоскостью   или   поверхность порождает параболу.

Эллиптический параболоид

Эллиптический параболоид

Уравнение эллиптического параболоида:

Если   то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину данной параболы.

При сечении эллиптический параболоида  плоскостью   поверхность порождает эллипс.

При сечении эллиптический параболоида плоскостью   или   поверхность порождает параболу.

6

                  Центральные поверхности

Если центр поверхности второго  порядка существует и единственен, то его координаты   можно найти решив систему уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3 Таблица уравнений  поверхностей второго порядка

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примечания:

 

 

 Эйлер рассматривал параболический цилиндр как шестой род поверхностей второго порядка; впоследствии эту поверхность, также как цилиндр с эллиптическим и гиперболическим основанием, стали рассматривать как разновидности пяти главных родов.

2. Конус второго порядка мы рассматриваем как частный случай гиперболоидов, подобно тому как в геометрии на плоскости две пересекающиеся прямые рассматриваются как частная или предельная форма гиперболы. Поэтому конуса в числе главных поверхностей с центром не помещают.
3. Многие свойства гипербалоида  , одного из важнейших в теории поверхностей второго порядка, применяется как в начертательной геометрии, так и в искусстве.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

1.         Аналитическая геометрия. Курс лекций: С. П. Фиников — Москва, ЛКИ, 2008 г.- 330 с.
2. Аналитическая геометрия: И. И. Привалов — Москва, Лань, 2008 г.- 304 с.
3. Дифференциальная геометрия второго порядка и приложения. Теория Мирона-Атанасиу: Г. Атанасиу, В. Балан, Н. Брынзей, М. Рахула — Санкт-Петербург, Либроком, 2010 г.- 256 с.
4. Задачи и упражнения по аналитической геометрии: О. Н. Цубербиллер — Санкт-Петербург, Лань, 2007 г.- 336 с.
5. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Д. В. Беклемишев — Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2008 г.- 312 с.
6. Локальный электрохимический анализ: В. В. Слепушкин, Ю. В. Рублинецкая — Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2010 г.- 312 с.
7. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами: Б. И. Квасов — Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2006 г.- 360 с.
8. Минимальные поверхности: — Санкт-Петербург, ФИЗМАТЛИТ, 2003 г.- 352 с.