Построение сечений

Построение  сечений. 
 

    В подавляющем большинстве задач, связанных с построениями на изображениях, требуется выполнять построение сечений заданных пространственных фигур. Способы задания сечений весьма различны, и универсального метода их построения не существует. Наиболее эффективными в практике являются следующие три метода:1) метод следов; 2) метод внутреннего проектирования; 3) комбинированный метод. Рассмотрим каждый из этих методов.

    1.  Метод следов. В общем случае плоскость сечения имеет общую прямую с плоскостью каждой грани многогранника. Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-либо грани многогранника, называют следом секущей плоскости. Ясно, что секущая плоскость имеет столько следов, сколько плоскостей граней она пересекает. На практике чаще всего находят тот след секущей плоскости, который лежит в плоскости нижнего основания многогранника. Для развития пространственного представления следует решать задачи на построение сечений, в которых более целесообразным оказывается нахождение следа секущей плоскости в плоскости какой-нибудь грани, отличной от плоскости нижнего основания многогранника.

    При построении сечений след секущей  плоскости играет особую роль.

Так, пусть  боковые ребра некоторого многогранника  параллельны и прямая XY –след плоскости, пересекающей этот многогранник. Тогда если точки K и L лежат в секущей плоскости, а точки K₁ и  L₁ –их проекции на плоскость грани, в которой лежит след XY (причем, естественно, прямые KK₁ и LL₁ параллельны боковому ребру многогранника), то точка пересечения прямых KL и K₁ L₁ лежит на следе XY.

    Это утверждение лежит в основе построения сечений многогранников методом  следов.

    Для нахождения определенного следа  секущей плоскости необходимо, кроме  указания точек, определяющих секущую плоскость, указать также (задать или найти) параллельные проекции этих точек на плоскость той грани, в которой ищется след. Так, если требуется построить след секущей плоскости на плоскости нижнего основания параллелепипеда, то, кроме точек, лежащих непосредственно в секущей плоскости, необходимо указать также параллельные проекции этих точек на плоскость нижнего основания (в направлении, параллельном боковому ребру параллелепипеда).

    Перейдем  к рассмотрению примера.

    Точки  P,  Q  и R   взяты на ребрах параллелепипеда  ABCDA₁B₁C₁D₁ следующим образом: точка  P лежит на ребре CC₁, точка Q –на ребре DD₁, точка R –на ребре A₁B₁. построим след секущей плоскости на плоскости ABC.

    Р е ш е н и е. Построим точки P₁, Q₁ и R₁–проекции точек P, Q и R на плоскость ABC. Так как по условию точка P лежит на ребре CC₁, то, проектируя ее в направлении, параллельном боковому ребру параллелепипеда, получим точку P₁ , совпадающую с точкой C. Аналогично получим точку Q₁, которая совпадает с точкой D. Проведем далее в плоскости AA₁B₁ через точку R прямую r || AA₁ и найдем точку R₁ –точку пересечения прямых r и AB.

    Теперь, когда найдены проекции точек  P, Q и R, построим точки, лежащие на искомом следе. Так как PP₁||AA₁ и RR₁||AA₁, то PP₁||RR₁, т. е. прямые PR и P₁R₁ лежат в одной плоскости (она определяется прямыми PP₁ и RR₁). Найдем точку X –точку пересечения этих прямых. Ясно, что, так как точка X лежит на прямой PR, то она лежит и в секущей плоскости, а так как она лежит на прямой P₁R₁, то она лежит в плоскости ABC –плоскости нижнего основания. Итак, точка X принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания, т. е. она принадлежит искомому следу.

    Аналогично  находим точку Y –точку пересечения прямых PQ и P₁Q₁. Точка Y, как и точка X, принадлежит искомому следу. Таким образом, искомым следом является прямая YX.

      Мы нашли след секущей плоскости как прямую XY. Если, например, вместо точки Y найти точку Z (точку пересечения прямых и), то так как и точка X, и точка Z обе принадлежат и секущей плоскости, и плоскости основания, то прямая YZ будет также следом секущей плоскости PQR. возникает вопрос, совпадают ли прямые XY и XZ?

    Ясно, что так как точки P, Q и  R принадлежат одной плоскости, и точки P₁, Q₁ и R₁ также принадлежат одной плоскости, и точки X, Y и Z принадлежат каждой из этих плоскостей, то точки X, Y и Z лежат на линии пересечения этих плоскостей. Другими словами, двумя своими точками след секущей плоскости определяется однозначно. 
 
 
 

2.  Метод внутреннего  проектирования.   Этот метод удобен при построении сечений в тех случаях, когда почему-либо неудобно находить след секущей плоскости, например, след получается очень далеко от заданной фигуры. Рассмотрим применение этого метода на примере.

    Точки P, Q и R взяты на поверхности параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ следующим образом: точка P лежит на грани CC₁D₁D, точка Q –на ребре B₁C₁, а точка R –на ребре AA₁. Построим сечение параллелепипеда плоскостью PQR.

    Р е ш е н и е. Пересечение  секущей плоскости с плоскостью ABC (т. е. след секущей плоскости на плоскости ABC) не помещается на нашем изображении. Можно было бы, конечно, найти след секущей плоскости на плоскости какой-нибудь другой грани, например на плоскости BB₁C₁. (Для этого нужно было найти проекции точек P и R на плоскость BB₁C₁, а затем найти точку X –точку пересечения прямых PR и P₁R₁. Тогда прямая XQ –искомый след.) Мы, однако, применим здесь метод внутреннего проектирования. При построении сечения этим методом не требуется находить след секущей плоскости. Выполним нужные построения в следующем порядке:

1. Построим плоскость  AA₁PP₁, определяемую параллельными прямыми AA₁ и PP_1, и

плоскость DD₁QQ₁, определяемую параллельными прямыми QQ₁ и DD₁.

    2. Найдем прямую MM₁, по которой пересекаются две построенные плоскости.

    3. Найдем точку M₂, в которой пересекаются прямые PR и MM₁.

    4. В плоскости DD₁QQ₁ проведем прямую QM₂ и найдем точку S –точку ее пересечения с DD_1.

    Итак, на ребре DD₁ найдена точка, принадлежащая секущей плоскости. Далее находятся точки пересечения других ребер с секущей плоскостью.

    5. В плоскости CC₁D₁ проведем прямую SP и найдем точку L, в которой пересекаются прямые SP и CC₁.

    6. В плоскости  BB₁C₁ проведем прямую QL и найдем точку N, в которой прямая QL пересекается с прямой BB₁.

    7. В плоскости AA₁B₁ проведем прямую RN и найдем точку K, в которой она пересекается с прямой A₁B₁.

    8. Соединим  точки K и Q, R и S. Многоугольник RSLQK –искомое сечение.  
 
 
 

    3.   Комбинированный метод. При построении сечений этим методом на каких-то этапах решения применяются приемы, изложенные в методе следов или в методе внутреннего проектирования, а на других этапах применяются теоремы, изученные в разделе «Параллельность прямых и плоскостей».

    Для иллюстрации применения этого метода перейдем к примеру.

    Точки P, Q и R взяты на поверхности параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ следующим образом: точка P лежит на диагонали A₁C₁, точка R –на ребре BB₁, а точка Q –на ребре DD₁. Построим сечение параллелепипеда плоскостью PQR.

    Р е ш е н и е. Прежде всего построим прямую XY, по которой пересекаются плоскости PQR и ABC, т. е. след секущей плоскости на плоскости ABC. Для этого строим точку X –точку пересечения прямых RQ и R₁Q₁ и точку Y –точку пересечения прямых PQ и P₁Q₁.

    Построив  прямую XY –след секущей плоскости, заметом, что точка P лежит в плоскости A₁B₁C₁, параллельной плоскости ABC. Тогда секущая плоскость пересекает плоскость A₁B₁C₁ по прямой, проходящей через точку P и параллельной прямой XY. Пусть эта прямая пересекает ребра A₁B₁ и A₁D₁ соответственно в точках E и F. Тогда прямая FQ –это прямая, по которой секущая плоскость пересекает грань AA₁DD₁, прямая ER –это прямая, по которой секущая плоскость пересекает грань AA₁B₁B.

    Так как, далее, плоскость CC₁D₁ параллельна плоскости AA₁B₁, то секущая плоскость пересекает грань CC₁D₁D по прямой QS, параллельной прямой ER.