Высшая  математика.

Слушатель – Никифоров Михаил Николаевич

Курс 1. АПМ-03. Семестр осенний. 2003 год. 

Матрица – совокупность чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы.

Минором  для элемента а_ig называется определитель матрицы, полученный из исходной, вычеркиванием i-ой строки и g-ого столбца.

Матрицы с нулевым  определителем называются вырожденными или особенными. Особенная матрица  обратной не имеет. .  .

B_pq согласовано с A_mn, если число строк В равно числу столбцов А, т.е. p=n. Одно согласование.

1. Если один столбец или одна строка все нули, то | |=0.
2. Если в матрице имеется 2 равных столбца или 2 равных строки, то | |=0.
3. Треугольная матрица. Все элементы выше или ниже главной диагонали =0. Тогда определитель матрицы равен произведению диагональных элементов.
4. При перемене местами 2 строк или 2 столбцов определитель меняет знак.
5. Определитель матрицы, содержащей 2 пропорциональные строки или столбца равен нулю.
6. Определитель матрицы равен сумме произведений некоторой строки на соответствующие алгебраические дополнения.

Системы уравнений с матрицами.

Система 1 совместная, если имеет хотя бы одно решение.

Система 1 определенная, если есть только 1 решение и неопределенная, если более 1 решения.

Ранг  матрицы.

Ранг нулевой матрицы равен 0.

Ранг единичной  матрицы_nm равен n.

Ранг трипсидальной  матрицы равен числу ненулевых  строк.

При элементарных преобразованиях матрицы ранг её остается неизменным.

При добавлении к матрице строки или столбца  ранг её может только увеличиться или остаться неизменным.

Лекция 5.

.

Замечание: 1) Нет решения

2)   . n-число неизвестных

а) r=n – одно решение

б) r<n – бесконечное множество решений, зависящих от S=n-r параметров. 

Векторная алгебра

Проекция  вектора на ось:

Проекцией точки  на прямую называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проекция АВ на х это число |A^’B^’| взятое со знаком +, если угол острый и со знаком – если угол тупой. , 

.

Скалярное произведение векторов

.    

Признак перпендикулярности . 

Векторное произведение векторов

;  ; 

Объем пирамиды ; 

Смешанное произведение векторов

 Если  - углы, которые составляет вектор а с координатными осями, то , откуда следует

Условие коллинеарности

ab=0 – перпендикулярность

- коллинеарность

abc=0 – компланарность

Аналитическая геометрия

Плоскость в пространстве

Нормаль и точка  привязки однозначно определяют положение  плоскости в пространстве.

- каноническое уравнение (1)

Общее уравнение плоскости

, где  , где А, В, С – координаты нормали, D – свободный член, x,y,z – текущий координаты.

Уравнение плоскости, проходящий через точку  перпендикулярно вектору N=(A;B;C), имеет вид

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки  записывают в виде

Уравнение плоскости  в отрезках

Нормальное уравнение  плоскости  , где p – расстояние от начала координат.

Нормирующий множитель 

Расстояние от точки до плоскости

Угол между  плоскостями 

Условия параллельности и перпендикулярности ; 

Уравнение пучка  плоскостей:

Прямые  линии в пространстве.

-уравнение прямой

- параметрическое уравнение  прямой.

- каноническое уравнение прямой.

Уравнения прямой, проходящей через 2 заданные точки

Угол между 2 прямыми 

Взаимное  расположение 2 прямых.

1. (могут лежать и на одной прямой)

2. (могут скрещиваться)

3. . Если (3) , то скрещиваются. 

Взаимное  расположение прямой и плоскости

1.

2.

3. Угол между  прямой и плоскостью 

4.

Аналитическая геометрия на плоскости.

Прямоугольная декартова система  координат на плоскости

Расстояние между 2 точками  .

Если заданы точки А и В и точка С  делит отрезок АВ в отношении  , т.е. , то .

Уравнение прямой на плоскости

Ax+By+C=0;

Уравнение прямой в отрезках .

Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки  .

Уравнение прямой, проходящей через точку, под заданным углом к оси Ох ( ):

Расстояние от точки до прямой

1.

2.

3.

Окружность

Уравнение окружности с центром в M(a;b) радиусом R

Уравнение окружности с центром в начале координат 

Эллипс

Эллипс –  геометрическое место точек, для  которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости (фокусов  эллипса) есть величина постоянная, , чем расстояние между фокусами.

Обозначим M(x;y) – произвольная точка эллипса, 2с – расстояние между фокусами F₁ и F₂; 2а – сумма расстояний от точки М до F₁ и F₂ (a – большая полуось эллипса). - малая полуось эллипса. .

Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид  . 

Число называется эксцентриситетом эллипса и характеризует сплюснутость эллипса относительно осей . Если , то получается окружность. a=b.

Гипербола

Гипербола –  геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Если M (x;y) – точка гиперболы; F₁, F₂ – фокусы, 2с – расстояние между фокусами, 2а – разность расстояний от точки М (х;y) до фокусов , где а – действительная полуось гиперболы. - мнимая полуось гиперболы.

Каноническое  уравнение гиперболы  .

Гипербола пересекает ось Ох в точках и , с осью Оу пересечений нет.

Гипербола имеет  две асимптоты, уравнения которых  .

Эксцентриситет  гиперболы  .

Парабола

Парабола –  геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки F – фокуса и заданной прямой – директрисы параболы. Если ось абсцисс совпадает с перпендикуляром, опущенным из фокуса на директрису, а начало координат делит этот перпендикуляр пополам, то каноническое уравнение имеет вид .

Эксцентриситет  параболы - отношение расстояния от точки параболы до директрисы к расстоянию от этой точки до фокуса. 

Общее уравнение второго  порядка

- общее уравнение кривой второго порядка

Параллельный  перенос: .

Поворот осей:

- инварианты. - дискриминант

Если  >0, то уравнение эллиптического вида

Если  <0, то уравнение гиперболического типа

Если  =0, то уравнение параболического типа

Выбираем угол так, чтобы B’=0, тогда

(1) (B=0) 

1. . Осуществляем параллельный перенос для уничтожения членов .(**) ** подставляем в (1) +

(2)   (3)

а) >0 – эллиптический вид

A`C`>0 (одного знака)

Если F``>0, то пустое множество

Если F``=0, то одна точка (x``=0, y``=0)

Если F``<0, то получим эллипс в виде , где

б) <0 (гиперболический вид) A’C’<0 (разные знаки). Пусть A’>0

A`= ,   ,   , тогда .

Если F₀=0, то , получаем пару пересекающихся прямых.

Если F₀>0, то (гипербола)

Если F₀<0, то (гипербола, где оси поменялись местами)

в) (параболический тип) A`C`=0

(5)

а) D`=E`=0, пусть

б)  

** в (5)

, где 2р= , если p>0, то парабола . 

Теория  пределов.

Число а называется пределом последовательности x_n для любого ( ) сколь угодно малого положительного числа найдется номер, зависящий от , начиная с которого все члены последовательности отличаются от а меньше, чем на .

Предел  последовательности

Под числовой последовательностью понимают функцию , заданную на множестве натуральных чисел т.е. функцию натурального аргумента.

Число a называется пределом последовательности x_n (x=1,2,…): =а, если для любого сколь угодно малого >0, существует такое число N=N( ), что для всех натуральных n>N выполняется неравенство .

1) , - натуральное число. Если x_n=a, то (a, a, a, a) – стационарная последовательность.

2) , где a, d – const, тогда (a, a+d, a+2d,…a+(n-1)d)

x_n+1=x_n+d – рекуррентная формула.

3) Числа Фибоначчи. (1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…), где x₁, x₂ =1 и .

  (*);

 

- эпсилон – окрестность числа а.

1. . 

2. 

Основные  теоремы пределах

1. О единственном пределе. Последовательность имеет не более 1 предела.
2. Предельный переход в неравенстве.
3. О трех последовательностях. О сжатой последовательности.