Плоскость и прямая в пространстве

Плоскость и прямая в  пространстве

Всякое уравнение первой степени  относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0                                       

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена данным уравнением, которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости.

 В уравнении коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения:

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит  через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна  оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит  через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна  плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0; y0; z0) перпендикулярно к плоскостям

может быть представлено в следующем  виде:

уравнение плоскости, проходящей через  точки M1(x1; y1; z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3; y3; z3), может быть представлено в следующем виде:

уравнение плоскости, проходящей через  две точки M1(x1; y1; z1), M2(x2, y2, z2) перпендикулярно  к плоскости 

может быть представлено в следующем виде:

Уравнение плоскости "в  отрезках"

Каждое уравнение первой степени

Если ни один из коэффициентов A, B, C не равен нулю, то это уравнение  может быть преобразовано к виду:

     

 

Расстояние от точки  до плоскости.

Пусть задана точка М0(х0;у0;z0) и плоскость своим уравнением: Ax+By+Cz+D=0.

 

 

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия  пересечения двух плоскостей,т.е.  системой уравнений:

  A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,

  A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0;              

2) двумя  своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

=

3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей,  и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

Уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений параметру t:

  x = x1 +mt,

  y = y1 + nt,

  z = z1 + рt.                              

Решая систему как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:

x = mz + a, y = nz + b.                        

От уравнений  можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

Расстояние между двумя  точками. Деление отрезка в данном отношении.

Расстояние d между двумя точками  и в пространстве определяется формулой

Координаты x, y, z точки М, которая  делит отрезок , ограниченный точками   и в отношении , определяется по формулам

    

Уравнение поверхности.

Уравнением  данной поверхности (в выбранной  системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.

 

Сфера

В декартовых прямоугольных координатах сфера, имеющая центр и радиус r, определяется уравнением:

Сфера радиуса r, центр которой находится в  начале координат, имеет уравнение:

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением:

Уравнение  называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c полуоси эллипсоида. Если все они  различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие-нибудь две из них одинаковы, эллипсоид называется вытянутым, при a=b>c - сжатым. В случае, когда a=b=c, эллипсоид представляет собой сферу.

Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями:

     

Гиперболоид, определяемый уравнением (1), называется однополостным;

   

Гиперболоид, определяемый уравнением (2), - двуполостным

 

уравнения (1) и (2) называются каноническими уравнениями  соответствующих гиперболоидов. Величины a, b, c называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного гиперболоида, заданного уравнением (1), только первые из них (а и b) показаны на рис. В случае двуполостного гиперболоида, заданного уравнением (2), одна из них (именно, с) показана на рис.

 Гиперболоиды, определяемые уравнениями (1) и (2), при a=b являются поверхностями вращения.