Пифагор

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ПИФАГОР. ФИЛОСОФ И МАТЕМАТИК, ПОЛИТИК И РЕЛИГИОЗНЫЙ  ЛИДЕР

Бексултанова  Д.Ш.

10 Г, ОКШДС № 77, г. Караганда

рук. Шокенова З.У.

             О Пифагоре:   Пифагор жил в шестом веке до нашей эры, имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью".) Своими речами приобрёл 2000 учеников, которые вместе со своими семьями образовали школу-государство, где действовали законы и правила Пифагора.

Он был первым человеком, который назвал себя философом. До него умные люди называли себя гордо  и несколько высокомерно - мудрецами, что означало - человек, который знает. Пифагор же назвал себя философом - тем, кто пытается найти, выяснить. Слово "философ", как и слово "космос" достались нам от Пифагора. Всё в природе, говорил Пифагор, разделено на три части. Поэтому прежде чем решать любую проблему, её надо представить в виде треугольной диаграммы. "Узрите треугольник - и задача на две трети решена".Пифагор стоял у истока греческой науки, он был вынужден заниматься всем сразу: арифметикой и геометрией, астрономией и музыкой. Его целью было разобраться в строении Вселенной и человеческого общества (от движения звезд до политической борьбы).

       Открытие Пифагора:Он  первый заметил, что сила и единство науки основаны на работе с идеальными объектами. Например, прямая линия – это тетива натянутого лука и не луч света: ведь они имеют небольшую толщину, а линия толщины не имеет. Несовершенные природные тела являются лишь грубоватым подобием идеальных математических сущностей. Первая научная модель мира, предложенная Пифагором – все природные тела и процессы суть искаженные подобия идеальных тел и движений – а закономерности идеальных объектов выражаются с помощью чисел. «Числа правят миром через свойства геометрических фигур»

       Теорема Пифагора (Пифагоровы штаны): Пифагоровы штаны - шуточное название теоремы Пифагора, возникшее в силу того, что раньше в школьных учебниках эта теорема доказывалась равенства суммы площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, площади квадрата построенного на гипотенузе этого треугольника. Построенные на сторонах треугольника и расходящиеся разные стороны квадрата напоминали школьникам покрой мужских штанов, что породило следующее стихотворение : «Пифагоровы штаны – на все стороны равны».

      Доказательство теоремы Пифагора:

Провели Δ АВС высоту СD, и образовал ось два новых прямоугольных треугольника   ADC и BDC. 
 
 
 
 
 

        Древние египтяне более 2000 лет тому назад практически пользовались свойствами треугольника со сторонами 3, 4, 5 для построения прямого угла, т. е. фактически применяли теорему, обратную теореме Пифагора. Приведем доказательство этой теоремы, основанное на признаке равенства треугольников (т. е. такое, которое можно очень рано ввести в школе). Итак, пусть стороны треугольника ABC (рис. 24) связаны соотношением

c² = a² + b². (1) 

     Докажем, что этот треугольник прямоугольный. Построим прямоугольный треугольник A₁B₁C₁ по двум катетам, длины которых равны длинам a и b катетов данного треугольника (рис. 25). Пусть длина гипотенузы построенного треугольника равна c₁. Так как построенный треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем:  c₁² = a² + b². (2)

Сравнивая соотношения (1) и (2), получаем, что

c₁² = c², или c₁ = c.

Таким образом, треугольники – данный и построенный  – равны, так как имеют по три  соответственно равные стороны. Угол C₁ прямой, поэтому и угол C данного треугольника тоже прямой.

  

      Пифагорейцы:

Пифагорейцы образовали большое сообщество(их было более  трёхсот), но она составляло лишь небольшую  часть города, который уже не управлялся согласно тем же обычаям и нравам. Пифагорейцы приписывали числам различные свойства.Так, четные числа они называли женскими, нечетные (кроме 1) - мужскими. Число 5 - как сумма первого женского числа (2) и первого мужского (3) - считалось символом любви.Они же выделили понятие простого числа. Им были знакомы три вида пропорций:

      арифметическая    (a-b):(b-c)=a:a;

      геометрическая    (a-b):(b-c)=a:b;

       гармоническая    (a-b):(b-c)=а:c.

      Пифагорейцы доказали, что сумма  углов треугольника равна сумме  двух прямых углов; установили, что плоскость можно "замостить"  правильными многоугольниками так,  что вокруг одной точки будут лежать или шесть треугольников, или четыре квадрата, или три шестиугольника. 

            Десять правил Пифагора:

-Отклоняйся  от дорог исхоженных, используй  нехоженые пути;

-Будь хозяином  своему языку прежде всех других  вещей, следуя при этом Богу;

- Дует ветер  - поклоняйся шуму

- Помогай человеку  в поднятии тяжести, но не  помогай в сложении ее

- Выйдя из  дома своего, - не возвращайся  ..

- Не говори  о делах учения без Света.

- Корми петуха, но не приноси его в жертву, поскольку он посвящен Солнцу и Луне

- Не позволяй  ласточкам селиться в твоем  доме

- Не протягивай  охотно свою правую руку никому.

- Поднявшись  с постели, - сгладь отпечатки  тела.

    На первый взгляд этот свод правил напоминает мистическое руководство из мира суеверий, но по всей видимости, слова Пифагора нельзя понимать буквально, в прямом смысле. За каждым из изречений стоит скрытый тайный смысл, а какой пусть каждый решит для себя сам.

          Теорема Пифагора  в стереометрии:

1)В стереометрии  известен аналог теоремы Пифагора для треугольного параллелепипеда d²=a²+b²+c², где d- диагональ параллелепипеда a,b,c – величина трех его измерений.

2)В прямоугольной пирамиде квадрат площади гипотенузы равен сумме квадратов площадей катетов.

         Следствия теоремы  Пифагора:

1)В прямоугольном  треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.

2)В прямоугольном  пирамиде площадь любого из  катетов меньше площади гипотенузы.

3)Если прямоугольном  треугольнике АВС, к гипотенузе  проведена высота СD=h,делящая её на отрезки x и y,то H²=xy.

4) В прямоугольной  пирамиде аналог высоты это  треугольник СОН (СН ┴ АВ), Н²= XYsinφ.

5)Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

6)Объем прямоугольной  пирамиды равняется 1/6√a²b²c², где а=ОА, b=OB, c=OC.ребра треугольной пирамиды ОАВС, у которой все плоские углы, при вершине О прямые.

Прямоугольный треугольник и  прямоугольная пирамида

Возьмем в пространстве произвольный треугольник АВС и  ортогонально спроектируем его на плоскость  β, проходящую через одну из его сторон, например сторону АВ. Пусть угол между плоскостями АВС и β равен φ (рис. 1.)

    Тогда  не трудно доказать, что

                                           S∆ABC = S∆ABC cosφ                                               (1)

   Формула  (1) позволяет определить тригонометрические функции двугранного угла, не сводя их к тригонометрическим функциям плоского угла.

   Заметим,  что прямоугольном треугольнике  ВСО (∟О = 90˚) верно равенство                                  ВО=ВСсоsφ                                                 (2)

   Формулы  (1) и (2) похожи, только в первом  случае мы брали треугольник  и его проекцию, а во втором  – гипотенузу и катет, прилежащий  к углу α. Эти формулы приводят  к мысли, что прямоугольный  треугольник ВСО  аналогичен  пирамиде ОАВС.

   При встрече  с прямоугольным треугольником  сразу же вспоминается теорема  Пифагора. Выясним, справедлива ли  подобная теорема для прямоугольной  пирамиды.

  Замечание. В стереометрии известен аналог теоремы Пифагора для прямоугольного параллелепипеда: d² = a² + b² + c², где d – диагональ параллелепипеда, а a,b,c – величины трех его измерений.

    В  прямоугольной пирамиде ОАВС  АО=а, ВО=b, СО=с. По аналогии с теоремой Пифагора должно выполняться следующее равенство:

                                    S²∆ABC = S²∆COA + S²∆COB +S²∆AOB.

     Представив  в эту формулу равенство (1) и сделав некоторые преобразования, получим

                                    S²∆AOB · tg²φ = S²∆COA + S²∆COB                                                   (3).

     В  прямоугольном треугольнике СОН tgφ = СО/ОН, по условию СО=с, а ОН найдем из треугольников АОВ и АНО. В одном sinα = ОВ/АВ? А на другом sinα = ОН/АО. Таким образом получаем равенство ОВ/АВ = ОН/АО, откуда ОН = ОВ·АО/АВ.

     В  прямоугольном треугольнике АОВ  АВ = √a² +  b².Остальные даные есть в условии, в результате ОН = ab/√a² +  b², а tgφ = c/√a² +  b²/ab.

     Площади  прямоугольных треугольников АОВ, СОА и СОВ равны соответственно ab/2, aс/2 и bс/2. В результате формула (3) приобретает вид

                         a²b² / 4 · с²( a²+b²) / a²b² = a²с² /4 + b²с²/4;

преобразовав  её, получим

                          с²( a²+b²) = с²( a²+b²).

      Последнее выражение является  верным равенством, поэтому можно  сделать вывод: первоначальное  предположение было верным и  верна теорема.

       Теорема. В прямоугольной пирамиде квадрат площади гипотенузы равен сумме квадратов площадей катетов.

                              Следствие теоремы  Пифагора и её  анализ

- В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.

       В прямоугольной пирамиде площадь  любого из катетов меньше        площади гипотенузы.

- Если в прямоугольном  треугольнике АВС к гипотенузе  проведена высота СD = h, делящая её на отрезки x и y h² = хỵ

        В прямоугольной пирамиде (рис.2) аналог высоты -  это треугольник СОН (СН ┴АВ). Обозначим S∆COН =Н,      S∆CАН = Х,     S∆CBН = У.

        Тогда Н²  = ¼ ОН² · ОС².

Заменим, ОН²  на произведение АН и НВ, а ОС² - на sinφ ·CH²  и получим

                       Н²  = 1/2 АН² · СН1/2 НВ · СН  · sin²φ.

В результате выражение  принимает вид 

                      Н²  = Х · У · sin²φ.

- Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, т.е. S =1/2ab. Чтобы получить аналог этого свойства, выразим объем прямоугольной пирамиды через произведение площадей её катетов. Для удобства примем за основание пирамиды грань АОВ, тогда