Параметрические уравнение. Исследование параметрических уравнений

ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ. ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ  УРАВНЕНИЙ. 
 

Пусть кривая задана параметрическими уравнением

В этом случае  исследование и построение графика  производится аналогично тому, как  это было сделано для кривой, заданной уравнением

Вычисляем производные

Для тех точек  кривой, вблизи которых кривая является графиком некоторой функции  , вычисляем производную

.

Находим значения параметра  , при которых хотя бы одна из производных или обращается в нуль или терпит разрыв. (Такими значениями  t мы будем называть критическими значениями). По формуле (3) в каждом из интервалов а следовательно, и в каждом из  интервалов (где определяем знак , тем самым определяем области возрастания и убывания. Это дает также возможность определить характер точек, соответствующих значениям параметра

Далее, вычисляем:

На основании  этой формулы определяем направление  выпуклости кривой в каждой точке.

Для нахождения асимптот находим такие значения t, при приближении к которым или x, или y стремятся к бесконечности, и такие значения t, при приближении к которым и x, и y стремится к бесконечности. Затем производим исследование обычным способом.

Некоторые особенности, появляющиеся при исследованиях  кривых, заданных параметрически, выясним  на примерах.

Пример 1.

Исследовать кривую, заданную уравнениями

Решение: Величины x и y определены для всех значений  t . Но так как функция и - периодические, с периодом , достаточно рассмотреть изменение параметра t в пределах  от 0 до ; при этом областью изменения x будет отрезок и областью изменения y будет отрезок . Следовательно, рассматриваемая кривая асимптот не имеет. Далее находим:

₍₂₎

Эти производные  обращаются в нуль при

Определяем:

₍₃₎

На основании  этих формул составляем таблицу

 
Из уравнения видно, что уравнения  определяют две непрерывные функции  вида y=f(x)? при будет , при будет .

из формулы (3) следует:

И 

В этих точках касательная  к кривой вертикальна. Далее находим:

                                                           

В этих точках касательная  к кривой вертикальна. Затем находим:

Отсюда следует:

-кривизна вогнута,

-кривая выпукла

На основании  исследования, можем построить кривую. Эта кривая называется астеройдой.

Пример 2. Построить  кривую, заданную уравнениями

                              ₁₎

_{Решение: Обе функции определены для всех t, кроме t=-1 , при этом}

      

                         

_{Заметим далее, что}

 
_{Найдем       и   :}

_{,              2)}

_{Для параметра t получаем следующие четыре критические значения:}

_{Далее, находим:}

       3)

На основании  формул 1,2,3 составляем таблицу:

 

Из формулы 3 находим:

  

Следовательно начало координат кривая пересекает дважды, с касательной, параллельной оси 0x, и с касательной, параллельной оси oy.

Далее,

В этой точке  касательная к кривой вертикальна.

В этой точке  касательная к кривой горизонтальна. Исследуем вопрос о существовании  асимптоты:

Следовательно, прямая y=-x-a  является асимптотой ветви кривой при

Аналогичным образом  найдем:

Таким образом найденная кривая является асимптотой и для ветви кривой при

На основании  проведённого исследования строим кривую.