Особое решение дифференциальных уравнений первого порядка

Введение

      

       Дифференциальным уравнением называется  уравнение, связывающее независимые  переменные, их функции и производные  (или дифференциалы) этой функции.

       Если дифференциальное уравнение  имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

       Наивысший порядок производных,  входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

-2-

1. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка 

          Задачей Коши называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = j(х, С₀), удовлетворяющего начальным условиям у(х₀) = у₀.

      Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)

      Если  функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную , то какова бы не была точка (х₀, у₀) в области D, существует единственное решение уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку х₀, принимающее при х = х₀ значение j(х₀) = у₀, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения. 

1.1. Геометрический смысл

    Геометрически речь идет о нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку М (х ,у ). 
 
 
 
 
 

   

    Исключительно большое значение для теории дифференциальных уравнений и ее приложений имеет вопрос о существенности решения задачи Коши и о единственности этого решения. Будем говорить, что задача Коши 

имеет единственное решение, если можно указать такую окрестность точки х 
 
 
 
 
 

            |х – x |<h (1.2)

что в ней  определено решение  (1.1) и не существует решения

у=у (х,х ,у ),

определенного в той же окрестности (1.2), значение которого не совпадает со значениями решения (1.1) хоть в одной точке  окрестности (1.2), отличной от точки х . В противном случае говорят, что единственность решения задачи Коши нарушена.

    Наличие  свойства единственности зависит  от дифференциального уравнения  и от началиных данных х  ,у . 

1.2. Механический смысл

  
 
 
 
 
 
 
 

-3- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Общее и частное  решение дифференциального  уравнения первого  порядка 

Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = j(x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

Свойства  общего решения:

      1) Т.к. постоянная С – произвольная  величина, то вообще говоря дифференциальное  уравнение имеет бесконечное  множество решений.

      2) При каких- либо начальных условиях  х = х₀, у(х₀) = у₀ существует такое значение С = С₀, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = j(х, С₀). 

Решение у=у(х), в каждой точке которого сохраняется  единственность решения задачи Коши, называется частным решением дифференциального уравнения. 

Пример.  Найти общее решение дифференциального уравнения .

      Общее решение дифференциального уравнения  ищется с помощью интегрирования  левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано  следующим образом:

 

 

      Теперь  интегрируем:               

                                                                     - это общее решение исходного дифференциального уравнения. 

      Допустим, заданы некоторые начальные условия: x₀ = 1; y₀ = 2, тогда имеем 
 

-4-

 

      При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

 

3. Особое решение  и его связь с общим решением 

      Особым  решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.

      Особые  решения не зависят от постоянной С.

      Особые  решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях  постоянной С.  Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой.

      Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение  имеет особые решения. 

      Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение:

                                       y = 3(y − sin x)    + cos x .   (1)

Непосредственной  проверкой нетрудно убедиться, что  при любом С функция

                                                 y = (x + C)  + sin x      (2)

есть решение  этого уравнения. Здесь семейство  интегральных кривыхзадается с помощью  функции

                                     Ф(x, y,C) = y − (x + C)    − sin x .

Для нахождения уравнения огибающей имеем систему

                                Ф(x, y,C) = y − (x + C)  − sin x = 0

                                Ф  (x, y,C) = −3(x + C)   = 0 

.

Отсюда  x + C = 0, и y = sin x. Надо еще проверить, что последнее равенство задает огибающую.

Легко видеь, что  при х=х  кривые y = sin x и y = (x − x0)3 + sin x имеют общую в точке с абциссой

x = x . Поэтому y = sin x – огибающая семейства кривых (2) и, следовательно,

особое  решение уравнения (1). 

4. Дифференциальные  уравнения первого  порядка, разрешенные  относительно производных 

      Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:

      Если  такое соотношение преобразовать  к виду то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.

      Преобразуем такое выражение далее:

 

-5-

Функцию f(x,y) представим в виде: тогда при подстановке в полученное выше уравнение  имеем: 

• это так  называемая дифференциальная форма уравнения первого порядка.

      Далее рассмотрим подробнее типы уравнений  первого порядка и методы их решения.

4.1. Уравнения с разделенными  переменными

             М(х)dx + N(у)dy=0

      М(х)dx +  N(у)dy=C – общее решение.

Прим.

4.2. Уравнения с разделяющимися переменными

      Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

.

         После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Если  заданы начальные условия, то при  их подстановке в общее решение  находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение. 

      Пример. Решить уравнение

 

 

                                                                - общий интеграл

                                                                - общее решение 
 

4.3.Однородные уравнения.

      Определение. Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

      Любое уравнение вида является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.

      Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к  уравнению с разделяющимися переменными.

            Рассмотрим однородное уравнение 

-6-

Т.к. функция  f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:

Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что . Получаем:

      Правая  часть полученного равенства  зависит фактически только от одного аргумента  , т.е.

Исходное  дифференциальное уравнение таким  образом можно записать в виде:

Далее заменяем y = ux, . 

таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.