Основные свойства функций: чётность, нечётность, периодичность, монотонность, ограниченность

 

 

 

 

 

 

 

Реферат

 

Тема: Основные свойства функций: чётность, нечётность, периодичность, монотонность, ограниченность.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил  студент группы А-1-509:

                                                                        Панов Артём

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………………………………. 1

Основн

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.

Обозначение:

y = f(x),

где x – независимая  переменная (аргумент), y – зависимая  переменная (функция). Множество значений x называется областью определения  функции (обозначается D(f)). Множество  значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции  называется множество точек плоскости  с координатами (x, f(x))

Способы задания  функции.

1. аналитический способ (с помощью математической формулы);
2. табличный способ (с помощью таблицы);
3. описательный способ (с помощью словесного описания);
4. графический способ (с помощью графика).

Основные  свойства функции.

1. Четность и  нечетность

Функция называется четной, если 
      – область определения функции симметрична относительно нуля 
      – для любого х из области определения f(-x) = f(x)

График четной функции  симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если 
      – область определения функции симметрична относительно нуля 
      – для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2.Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом  , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).

График периодической  функции состоит из неограниченно  повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание,  убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x₁ и x₂ из этого множества, таких, что x₁ < x₂ выполнено неравенство f(x₁)< f(x₂).

Функция f(x) убывает  на множестве Р , если для любых x₁ и x₂ из этого множества, таких, что x₁ < x₂ выполнено неравенство f(x₁) > f(x₂).

4. Экстремумы

Точка Х_max называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х_max , выполнено неравенство f(х)  f(X_max).

Значение Y_max=f(X_max) называется максимумом этой функции.

Х_max – точка максимума 
У_max – максимум

Точка Х_min называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х_min , выполнено неравенство f(х)  f(X_min).

Значение Y_min=f(X_min) называется минимумом этой функции.

X_min – точка минимума 
Y_min – минимум

X_min, Х_max – точки экстремума 
Y_min, У_max – экстремумы.

5. Нули функции

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента  х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Х₁,Х₂,Х₃ – нули функции y = f(x).

 

Примеры.

1. Найти область  определения функции.

a) 

Решение: область определения функции находится из условия

Ответ: 

б) 

Решение: область определения функции находится из условий

 

Ответ:

2. Исследовать на  четность и нечетность функцию:

a) 

Решение:

1)

 - симметрична относительно нуля.

2)

следовательно, функция f(x) – четная.

Ответ: четная.

в) 

1) 

D(f) = [-1; 1] – симметрична относительно нуля.

2)

следовательно, функция  не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни не четная.

 

 

 

 

1. Область определения функции и область значений функции.

• Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y=f(x) определена.
• Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве  действительных чисел.

2. Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3. Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4. Монотонность функции.

• Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
• Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5. Четность (нечетность) функции.

• Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.
• Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6. Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7. Периодическость функции.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области  определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.