Ортогональное проектирование

Его применение. 

Ортогональное проектирование.

• Определение:
• Параллельное проектирование, при котором проектирующие прямые перпендикулярны к плоскости проекций, называется ортогональным проектированием .

 

• В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Обычно в геометрии  для этого используется параллельное проектирование пространственной фигуры на плоскость.
• Пусть  –  некоторая плоскость, l – пересекающая ее прямая (рис. 1). Через произвольную точку A, не принадлежащую прямой l, проведем прямую, параллельную прямой l. Точка пересечения этой прямой с плоскостью π называется параллельной проекцией точки A на плоскость π в направлении прямой l. Обозначим ее A'. Если точка A принадлежит прямой l, то параллельной проекцией A на плоскость π считается точка пересечения прямой l с плоскостью π. Таким образом, каждой точке A пространства сопоставляется ее проекция A' на плоскость π. Это соответствие называется параллельным проектированием на плоскость π в направлении прямой l.

 
 
 
 
 
 
 

• Пусть Ф - некоторая фигура в пространстве. Проекции ее точек на плоскость π образуют фигуру Ф', которая называется параллельной проекцией фигуры Ф на плоскость π в направлении прямой l. Говорят также, что фигура Ф' получена из фигуры Ф параллельным проектированием.

 

• Примеры параллельных проекций дают, например, тени предметов под воздействием пучка параллельных солнечных лучей.

 

• Используя свойства параллельности прямых и плоскостей в пространстве, нетрудно доказать следующие свойства параллельного  проектирования.              

 
 
 
 
 
 

1. Параллельное  проектирование 

• Свойство 1. Если прямая параллельна или совпадает  с прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой l, то ее проекцией является прямая.

 

• Свойство 2. Проекция отрезка при параллельном проектировании есть точка или отрезок, в зависимости от того лежит он на прямой, параллельной или совпадающей  с прямой l, или нет. Параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на прямой, не параллельной и не совпадающей с прямой l. В частности, при парал­лельном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка.

 

• Свойство 3. Если две параллельные прямые не параллельны  прямой l, то их проекции в направлении l могут быть или параллельными прямыми или одной прямой.

 

• Свойство 4. Если плоская фигура F лежит в  плоскости, параллельной плоскости  проектирования π, то ее проекция F’ на эту плоскость будет равна фигуре F.

 

• Из  свойств параллельного проектирования следует, что параллельной проекцией  многоугольника является или многоугольник  с тем же числом сторон или отрезок. Причем, если в многоугольнике какие-нибудь две стороны параллельны, то их проекции также будут параллельны.

 

Свойства.

• Параллельная  проекция обычно используется для изображения  многогранников. Приведем примеры изображений  многогранников.

 

• Изображение параллелепипеда строится,  исходя  из того,  что все его грани  параллелограммы и, следовательно, изображаются параллелограммами (рис. 5).

 
 
 
 
 

При изображении  куба плоскость изображений обычно выбирается параллельной одной из его  граней. В этом случае две грани  куба, параллельные плоскости изображений (передняя и задняя), изображаются равными  квадратами. Остальные грани куба изображаются параллелограммами (рис. 6). Аналогичным образом изображается прямоугольный параллелепипед (рис. 7). 

• Для того чтобы построить изображение  призмы, достаточно построить многоугольник, изображающий ее основание. Затем из вершин многоугольника провести прямые, параллельные некоторой фиксированной  прямой, и отложить на них равные отрезки. Соединяя концы этих отрезков, получим многоугольник, являющийся изображением второго основания  призмы (рис. 8).

 
 
 
 

• Для того чтобы построить изображение  пирамиды, достаточно построить многоугольник, изображающий ее основание. Затем выбрать  какую-нибудь точку, которая будет  изображать вершину пирамиды, и соединить  ее с вершинами многоугольника (рис. 9). Полученные отрезки будут изображать боковые ребра пирамиды.

• Ортогональным проектированием называется параллельное проектирование в направлении прямой, перпендикулярной плоскости проектирования.
• Поскольку ортогональное проектирование является частным случаем параллельного проектирования, для него справедливы все рассмотренные выше свойства параллельного проектирования. Для изображения куба или прямоугольного параллелепипеда в ортогональной проекции, выясним сначала, куда при ортогональном проектировании переходят ребра прямого трехгранного угла, т.е. такого, у которого все плоские углы прямые.
• Пусть дан прямой трехгранный угол с вершиной S и ребрами a, b и c. Плоскость π пересекает эти ребра (рис. 13). Обозначим через O ортогональную проекцию вершины S на плоскость . Тогда прямые AO, BO и CO будут соответственно ортогональными проекциями прямых SA, SB и SC. Докажем, что точка O является ортоцентром треугольника ABC (точка пересечения высот) и, таким образом, прямые AO, BO и CO содержат высоты треугольника ABC.

 
 
 
 
 

• Действительно, прямая SC перпендикулярна прямым SA, SB и, следовательно, перпендикулярна  плоскости SAB. Прямая AB лежит в этой плоскости и, следовательно, перпендикулярна SC. Прямая CO является ортогональной  проекцией прямой SC и, следовательно (по теореме о трех перпендикулярах), перпендикулярна AB. Значит, прямая CO содержит высоту CC1 треугольника ABC. Аналогичным  образом доказывается, что прямые AO и BO содержат высоты AA1 и BB1 треугольника ABC.
• Используя доказанное утверждение, построим ортогональную проекцию прямого трехгранного угла. Для этого нарисуем треугольник ABC и проведем в нем высоты (рис. 14). Лучи OA, OB и OC будут изображением ребер трехгранного угла.
• Заметим, что для любых трех лучей a, b и c, с вершиной в точке O для которых углы aOb, bOc и aOc больше 90°, существует треугольник ABC, высоты которого лежат на этих лучах. Для его построения отметим какую-нибудь точку A на луче a и проведем через нее прямую, перпендикулярную b. Так как c не перпендикулярна b, то она пересечет прямую c в некоторой точке C. Аналогичным образом, через точку A проведем прямую, перпендикулярную c и точку ее пересечения с прямой B обозначим через B. Тогда прямые BO и CO будут содержать высоты треугольника ABC и, значит, прямая AO также будет содержать высоту этого треугольника.

 
 
 

2. Ортогональное  проектирование

• Имея  изображение прямого трехгранного угла, легко построить изображение  прямоугольного параллелепипеда (рис. 15). Его ребра лежат на прямых, параллельных OA, OB и OC, соответственно.

• Выясним теперь, как изображается куб в  ортогональной проекции. Для этого  вернемся к изображению прямого  трехгранного угла, на ребрах которого отмечены точки A, B, C, и предположим, что SA – единичный отрезок, изображенный отрезком OA. Наша задача состоит в  том, чтобы на лучах OB и OC построить  изображения единичных отрезков.

 

• Представим  себе, что треугольник SAB поворачивается относительно прямой AB. При этом высота SC1 этого треугольника поворачивается в плоскости, перпендикулярной прямой AB и в плоскости треугольника ABC занимает положение S1C1 (рис. 16). Поскольку  треугольник ASB прямоугольный, то точка S1 будет пересечением окружности, построенной  на AB как на диаметре, и прямой CO. При этом отрезок S1A является единичным  отрезком.

 

• Пусть теперь дано изображение прямого  трехгранного угла (рис. 17, а), для которого OA изображает единичный отрезок. Для  построения изображения единичного отрезка на луче OB построим окружность с центром в точке S1 и радиусом S1A. Через точку ее пересечения  с S1B проведем прямую, параллельную CO. Ее точка пересечения B' с лучом OB и  даст искомую точку, для которой  отрезок OB' является изображением единичного отрезка. Аналогичным образом строится изображение OC' единичного отрезка.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

• После того, как мы построили изображения  единичных отрезков, изображение  куба строится также как и изображение  прямоугольного параллелепипеда с  данными ребрами (рис. 17, б).

 
 
 
 
 
 
 

• Ортогональное проектирование используется для изображения  цилиндра, конуса, шара, сферы и др.
• Рассмотрим вопрос об изображении сферы.
• Теорема. Ортогональной проекцией сферы является круг, радиус которого равен радиусу сферы.
• Доказательство. Проведем плоскость a0, проходящую через центр сферы О и параллельную плоскости проектирования a. Поскольку плоскости a и a0 параллельны, то проекции сферы на эти плоскости будут равны (рис. 18). Сечением сферы плоскостью a0 является окружность радиуса R, равного радиусу сферы. Если А точка сферы, не принадлежащая этой окружности, и А0 ее ортогональная проекция на плоскость a0, то ОА0 < OA  R. Таким образом, при ортогональном проектировании на плоскость a0 точки этой окружности остаются на месте, а остальные точки сферы проектируются внутрь соответствующего круга. Следовательно, ортогональной проекцией сферы является круг того же радиуса.

• В черчении широко применяется частный вид  параллельного проектирования, когда  плоскость П. расположена перпендикулярно (ортогонально) к направлению проектирования. П. в этом случае называется прямоугольной  или ортогональной.

 

• Центральные и параллельные (в частности, ортогональные) П. широко используют в начертательной геометрии, причём получаются различные  виды изображений (перспективные, аксонометрические  и др.). Специальные виды проектирования на плоскость, сферу и др. поверхности  применяются в географии, астрономии, кристаллографии, топографии и т.д. Таковы картографические проекции, гномонические проекции, стереографические проекции и др. Об ортогональной проекции направленных отрезков (векторов) см. в ст. Векторное исчисление.

Примеры.

Чертеж  деталей съемника зведочки моторной цепи...