Определение скалярного произведения векторов

Определение скалярного произведения векторов.

Определение №1:

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.

 Скалярное произведение векторов   будем обозначать как. Тогда формула для вычисления скалярного произведения и имеет вид2 , где и - длины векторов    соответственно, а - угол между векторами  .

 Из определения скалярного  произведения видно, что если  хотя бы один из умножаемых  векторов нулевой, то.

 Вектор можно скалярно  умножить на себя. Скалярное произведение  вектора на себя равно квадрату  его длины, так как по определению

 

Определение №2.

 Скалярное произведение  вектора на себя называется скалярным квадратом.

Формулу для вычисления скалярного произведения можно записать в виде

где              числовая проекция вектора на направление вектора , a

числовая проекция вектора на направление вектора .

Таким образом, можно дать еще одно определение скалярного произведения двух векторов.

Определение №3:

Скалярным произведением двух векторов и называется произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на направление вектора или произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на направление вектора .

Это определение эквивалентно определению №1.

Определение №4.

Числовая проекция вектора на ось – это число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между этим вектором и вектором, определяющим направление оси.

Геометрические свойства векторного произведения

1. Модуль векторного произведения  численно равен площади параллелограмма, построенного на множителях

2. Векторное произведение  равняется нулевому вектору тогда  и только тогда, когда множители  коллинеарны, т.е.   ,

в частности, 

Первое свойство следует из определения. Докажем второе свойство. Равенство   возможно в трех случаях: , или

В каждом из этих случаев векторы   коллинеарны

 

 

 

 

 

 

 

 

Скалярное произведение в координатах.

 Покажем, как скалярное произведение вычисляется через координаты векторов в прямоугольной системе координат на плоскости и в пространстве.

Определение №5.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов и .

То есть, для векторов                                             на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид                                        , а для векторов   
                                                          в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится как                                                      

Таким образом, мы имеем третье определение скалярного произведения(определение №5). Покажем, что это определение эквивалентно определению №1.

Сначала докажем равенства                                                                        для векторов                                              на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.

Отложим от начала координат (точка О) векторы                                 ,

                     .

Тогда                                                                      (при необходимости обращайтесь к статьям операции над векторами и их свойства и операции над векторами в координатах).

 Будем считать точки О, А  и В вершинами треугольника  ОАВ. По теореме косинусов мы  можем записать                                                                           

Так как                                                                                           -

последнее равенство можно переписать как

а по первому определению скалярного произведения имеем

                                                , откуда

Вспомнив формулу вычисления длины вектора по координатам, получаем:

Абсолютно аналогично доказывается справедливость равенств

                                                                             для векторов                              

                                          , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости                               , в пространстве

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства скалярного произведения.

Для любых векторов справедливы следующие свойства скалярного произведения:

1. Свойство коммутативности скалярного произведения
2. Свойство дистрибутивности                                                    или

3) Сочетательное свойство                                    или                           
где     - произвольное действительное число;

4) Скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен                          , 
причем                     ,  тогда и только тогда, когда вектор нулевой.

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Для примера докажем свойство коммутативности скалярного  
 
произведения                           

 
По определению                                          и                                         .

В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо                             и                            , тогда  
                                                      .

  
Следовательно,                            , что и требовалось доказать.

 

Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.

 

 Следует отметить, что  свойство дистрибутивности скалярного  произведения справедливо для  любого числа слагаемых, то есть, и

                                                                                        
                                                                                                  , откуда следует

 

 
Вычисление скалярного произведения, примеры и решения.

 

Решение различных задач на вычисление скалярного произведения векторов сводится к использованию свойств скалярного произведения и формул:

1.   
    
    
   
2.  
    
    
   
3.                                             или

 
 
 

4.  
   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разберем решения наиболее часто встречающихся примеров.

 

Начнем с самых простых случаев, когда вычисление скалярного произведения производится на основе определения.

 

 

 

Пример 1.

 

Вычислите скалярное произведение двух векторов  , если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.

 

Решение.

 

 

У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:

 
 

 
Ответ:

 

 

 

 

Пример 2.

 

В прямоугольной системе координат заданы два вектора  
и                                , найдите их скалярное произведение.

 

 

 

 

Решение.

 

 В этом примере целесообразно  использовать формулу, позволяющую  вычислить скалярное произведение  векторов через их координаты:

 
 
Ответ:

 

 

 

 

Пример 3.

  

Вычислите скалярное произведение векторов         и        , если известны координаты трех точек в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости :

 

Решение. 

 

Найдем координаты векторов по координатам точек их начала и конца:

 

 

 Теперь можно использовать  формулу для вычисления скалярного  произведения в координатах:

 

Ответ:  
 

Сейчас рассмотрим пример, требующий сначала применить свойства скалярного произведения, и только затем переходить к вычислению. 
 

Пример 4.

 

 

Вычислите скалярное произведение векторов                            и

 
Векторы      и     перпендикулярны и их длины равны 2 и 3 единицы соответственно.

 

Решение.

 

 

 
По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем:

Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:

 

В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид

Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем

. Осталось применить формулу  для вычисления скалярного произведения  через длины векторов и косинус  угла между ними:

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

Сейчас рассмотрим пример на нахождение скалярного произведения векторов через числовую проекцию.

 

Пример 5.

 

Вычислите скалярное произведение векторов       и    , если                       ,  
а проекция вектора     на направление вектора      имеет координаты

 

Решение.

 

Векторы                          и                                  противоположно 
 
направленные, так как                             , следовательно, числовая проекция  
 
вектора      на направление вектора         будет равна длине вектора  
со знаком минус:

 

 

 Вычисляем скалярное  произведение

 

 
Ответ:

 

Также встречается масса обратных задач, когда скалярное произведение векторов известно, а требуется найти, например, длину одного из векторов, угол между векторами, числовую проекцию, либо что-нибудь еще.

 

 

 

Пример 6.

При каком значении       скалярное произведение векторов 
  и                       равно -1.

 

 

 

 

Решение.

 

 

Так как скалярное произведение равно сумме произведений  
 
соответствующих координат, то  

С другой стороны по условию  

Тогда искомое значение      находим из уравнения                            ,  
 
откуда               .

 

 

 Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример решения задач на геометрические свойства скалярного произведения векторов

 

Пример 7. 
 

  

 

Вычислить площади параллелограмма и треугольника, построенных на векторах                                            , где                              , угол между векторами      и      равен  .

 

Решение

   

Используя алгебраические свойства, найдем сначала векторное произведение

 

а затем его модуль

 

По первому геометрическому свойству векторного произведения искомая площадь параллелограмма равна , а площадь треугольника в 2 раза 
 
меньше: 

 

 

 

Ответ: S* = 15/2

 

 

 

 

 

Список литературы.

 

1. Жафяров, А. Ж. Геометрия, Ч. ІІ / А. Ж. Жафяров – Новосибирск: Сиб. универ. издательство, 2003 

2. Атанасян, Л. С. Геометрия / Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев. – Ч. ІІ. – М. : Просвещение,1987. 

3. Базылев, В. Т. Геометрия  Ч. ІІ / В. Т. Базылев, К. И. Дуничев. –  М. : Просвещение, 1975. 

4. Атанасян, Л. С. Геометрия  Ч. ІІ / Л. С. Атанасян, Г. Б. Гуревич. –  М. : Просвещение, 1976. 

5. Атанасян, Л. С. Сборник  задач по геометрии Ч. ІІ / Л. С. Атанасян. – М. : Просвещение, 1975.  

6. Базылев, В. Т. Сборник задач  по геометрии / В. Т. Базылев, К. И. Дуничев. – М. : Просвещение, 1980. 

7. Столярова, Л. П. Задачник-практикум  по геометрии Ч. ІІ / Л. П. Столярова, В. Г. Иванов. – Чебоксары, 2006. 

8. Понарин, Я.П. Аффинная проективная  геометрия / Я. П. Понарин. – М.: МЦНМО, 2009. 

9. Буземан, Г. Проективная  геометрия и проективные метрики / пер. с англ. Буземан Г., Келли  П.; Головина Л.И. 

10. Бэр, Р. Линейная алгебра  и проективная геометрия / Бэр  Р.; Шульгейфер Е.Г. (пер. с англ.) - 2-е изд., стер. – М. : УРСС, 2004. 

11. http://mathhelpplanet.com/static.php?p=vektornoe-proizvedenie-vektorov-i-yego-svoistva 

12. http://www.cleverstudents.ru/scalar_product_of_vectors.html