Образование и развитие математики Древнего Востока. Арабская цивилизация и ее предшественники

Содержание

Введение……………………………………………………………………….3

Первые  вычисления в Древнем Китае……………………………………….4

Индийская «пальма первенства»……………………………………………..6

Развитие  арабской математики……………………………………………….8

Ал-Хорезми  и рождение «ал-джабр»………………………………………..10

Последователи ал-Хорезми…………………………………………………..13

Омар  Хайям и его достижения…………………………………………….....15

Заключение…………………………………………………………………….18

Список  использованной литературы………………………………………....19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

     Восточная математика возникала как прикладная наука, имевшая целью облегчить календарные расчеты, распределение урожая, организацию общественных работ и сбор налогов. Вначале, естественно, главным делом были арифметические расчеты и измерения. Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Однако в науке, которую столетиями культивировали специалисты, чьей задачей было не только ее применение, но и посвящение в ее тайны, должен был развиться абстрактный уклон. Постепенно наукой стали заниматься ради нее самой. Из арифметики выросла алгебра не только потому, что это облегчало практические расчеты, но и в результате естественного развития науки, культивируемой и совершенствуемой в школах писцов. В силу тех же причин из измерений возникли начатки (но не больше) теоретической геометрии. Обе развивающиеся науки стали использоваться в решении задач, поставленных  торговлей, архитектурой, астрономией, географией, оптикой. 
 

    Первые  вычисления в Древнем  Китае

     Цифры в древнем  Китае обозначались специальными иероглифами, которые появились во II тысячелетии до н. э., и начертание их окончательно установилось к III веку до н. э. Эти иероглифы применяются и в настоящее время. Китайский способ записи чисел изначально был мультипликативным. Например, запись числа 1946, используя вместо иероглифов римские цифры, можно условно представить как 1М9С4Х6. Однако на практике расчёты выполнялись на счётной доске, где запись чисел была иной — позиционной, как в Индии, и, в отличие от вавилонян, десятичной.

    Вычисления  производились на специальной счётной  доске суаньпань, по принципу использования аналогичной русским счётам. Нуль сначала обозначался пустым местом, специальный иероглиф появился около XII века н. э. Для запоминания таблицы умножения существовала специальная песня, которую ученики заучивали наизусть.

    Престиж математики в Китае был высок. Каждый чиновник, чтобы получить назначение на пост, сдавал, помимо прочих, и экзамен по математике, где обязан был показать умение решать задачи из классических сборников. Наиболее содержательное математическое сочинение древнего Китая — «Математика в девяти книгах» (Цзю чжан суань шу).

    В I—V вв. н. э. китайцы уточняют число  π — сначала как √10, потом как 142/45 = 3,155…, а позже (V век) как 3,1415926, причём открывают для него известное рациональное приближение: 355/113.

    В это время китайцам уже было известно многое, в том числе:

1. вся базовая арифметика (включая нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного);
2. действия с дробями и пропорции;
3. действия с отрицательными числами (фу), которые трактовали как долги;
4. решение квадратных уравнений.

    Был даже разработан метод фан-чэн (方程) для решения систем произвольного числа линейных уравнений — аналог классического европейского метода Гаусса. Численно решались уравнения любой степени — способом тянь-юань (天元术), напоминающим метод Руффини-Горнера для нахождения корней многочлена.

    В области геометрии им были известны точные формулы для определения  площади и объёма основных фигур  и тел, теорема Пифагора и алгоритм подбора пифагоровых троек.

    В III веке н. э. под давлением традиционной десятичной системы мер появляются и десятичные дроби. Выходит «Математический трактат» Сунь-Цзы. В нём, помимо прочего, впервые появляется задача, которой позднее в Европе занимались крупнейшие математики, от Фибоначчи до Эйлера и Гаусса: найти число, которое при делении на 3, 5 и 7 даёт соответственно остатки 2, 3 и 2. Задачи такого типа нередки в теории календаря. 
 
 
 

    Индийская «пальма первенства»

    Древние индийцы с их высокой интеллектуальностью  и склонностью к абстрактному мышлению, естественно, должны были занять ведущее положение в математике. Европа заимствовала начатки арифметики и алгебры у арабов (чем и обьясняется название - арабские цифры), а арабы, в свою очередь, заимствовали их у Индии. Поразительные успехи, достигнутые индийцами в математике, сейчас хорошо известны, и признано, что основы современной арифметики и алгебры были заложены еще в древней Индии. Примитивный метод использования абак и применение римских и подобных им цифр долгое время задерживал прогресс, пока, наконец, десять индийских цифр, включая знак нуль, не освободили человеческий разум от этих ограничений и не показали в новом свете значение чисел. Эти цифровые обозначения были единственными в своем роде и полностью отличались от всех иных обозначений, которые применялись в других странах. Сейчас они получили достаточно широкое распространение, и мы принимаем их как должное, однако в свое время они создали условия для революционного прогресса. Понадобилось много веков, чтобы эти цифровые обозначения пришли из Индии через Багдад в западный мир. Сто пятьдесят лет назад, во времена Наполеона, Лаплас писал: "Индия дала нам остроумный метод выражения всех чисел посредством десяти знаков, причем, кроме величины каждого знака, имеет значение и его расположение. Эта глубокая и важная мысль кажется нам настолько простой, что мы не замечаем ее истинных достоинств, но ведь сама ее простота и большая легкость, которую она придала всем вычислениям, делают нашу арифметику одним из самых полезных изобретений. Мы оценим все величие этого достижения, когда вспомним, что мимо него прошел даже гений Архимеда и Апполония, двух величайших людей древности" (L. Hogben. Mathematics for the Million. London. 1942). Возникновение геометрии, арифметики и алгебры в Индии восходит к далеким временам. Прежде всего, существовала, вероятно, какого-то рода геометрическая алгебра, применявшаяся при начертании фигур для ведических алтарей. В древнейших книгах упоминается о геометрическом методе преобразования квадрата в прямоугольник по заданной стороне: ax = c. Геометрические фигуры до сих пор широко используются в индусских обрядах. Индия добилась успехов в области геометрии, но в этом отношении Греция и Александрия ее опередили. Пальма первенства принадлежала Индии в области арифметики и алгебры. Изобретатель или изобретатели десятичной системы и знака нуль неизвестны. Первое известное нам употребление знака нуль мы находим в одной из священных книг, датируемой примерно 200 годом до н.э. Считается вероятным, что десятичная система счисления была изобретена в начале христианской эры. Нуль, называется шунья, или - ничто, изображался вначале в виде точки, а позже в виде маленького кружка. Он считался таким же числом, как и все остальные. Профессор Холстед следующим образом подчеркивал важнейшее значение этого изобретения: "Значение введения знака нуль нельзя переоценить. Эта способность дать пустому ничто не только место, имя, образ, символ, но также и практическое значение типична для народа Индии, страны, из которой все это пришло. Это все равно, что создать из нирваны динамомашины. Ни одно математическое изобретение не имело такого значения для общего прогресса разума и могущества".

    Интересные  факты: Индийцы использовали счётные доски, приспособленные к позиционной записи. Они разработали полные алгоритмы всех арифметических операций, включая извлечение квадратных и кубических корней. Сам наш термин «корень» появился из-за того, что индийское слово «мула» имело два значения: основание и корень (растения); арабские переводчики ошибочно выбрали второе значение, и в таком виде оно попало в латинские переводы. 
 

Развитие  арабской математики

     Развитие арабской математики началось в VII в. нашей эры, как раз в эпоху возникновения религии ислама. Она выросла из многочисленных задач, поставленных торговлей, архитектурой, астрономией, географией, оптикой, и глубоко сочетала в себе стремление решить эти практические задачи и напряженную теоретическую работу.

    Арабские  математики добились решающих достижений и сделали ряд неоспоримых  открытий в области разработки алгебраического исчисления, как абстрактного, так и практического, становления теории уравнений, алгоритмических методов на стыке алгебры и арифметики.

    В развитии арабской математики можно  различить два периода: прежде всего  усвоение в VII и VIII вв. греческого и восточного наследия. Багдад был первым крупным научным центром в правления ал-Мансура (754-775) и Гарун ал-Рашида (786-809). Там было большое количество библиотек, и изготовлялось много копий научных трудов. Переводились труды античной Греции (Евклид, Архимед, Аполлоний, Герон, Птолемей, Диофант), изучались также труды из Индии, Персии и Месопотамии.

    Но  к IX в. сформировалась настоящая собственная математическая культура, и новые работы вышли за рамки, определенные эллинским математическим наследием.

    Первым  знаменитым ученым багдадской школы был Мухаммед ал-Хорезми, деятельность которого протекала в первой половине IX в. Он входил в группу математиков и астрономов, которые работали в Доме мудрости, своего рода академии, основанной в Багдаде в правление ал-Маммуна (813-833). Сохранились пять работ ал-Хорезми, частично переработанные, из которых два трактата об арифметике и алгебре оказали решающее воздействие на дальнейшее развитие математики.

    Его трактат об арифметике известен только в латинском варианте XIII в., который, без сомнения, не является точным переводом. Его можно было бы озаглавить «Книга о сложении и вычитании на основе индийского исчисления». Это, во всяком случае, первая книга, в которой изложены десятичная система счисления и операции, выполняемые в этой системе, включая умножение и деление. В частности, там использовался маленький кружочек, выполнявший функции нуля. Ал-Хорезми объяснял, как произносить числа, используя понятия единицы, десятка, сотни, тысячи, тысячи тысяч…, которые он определил. Но форма использованных ал-Хорезми цифр неизвестна, возможно, это были арабские буквы или арабские цифры Востока.

     О происхождении  арабских цифр стоит сказать отдельно.   Арабские цифры — традиционное название десяти математических знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, с помощью которых по десятичной системе счисления записываются любые числа. Эти цифры возникли в Индии (не позднее V в.), в Европе стали известны в Х-ХIII вв. по арабским сочинениям (отсюда название).  
 
 
 
 
 
 
 

    Интересные  факты: Ряд интересных математических задач, стимулировавших развитие сферической геометрии и астрономии, поставила перед математикой и сама религия ислама. Это задача о расчёте лунного календаря, об определении точного времени для совершения намаза, а также об определении киблы — точного направления на Мекку. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ал-Хорезми  и рождение «ал-джабр»

    Самым значительным трудом ал-Хорезми можно  считать «Краткую книгу об исчислении ал-джабр и ал-мукабала», которую  можно рассматривать как сочинение  по основам алгебры на арабском языке и которая оказала сильное влияние благодаря своим многочисленным латинским переводам на всю средневековую западную науку. Большая часть этой работы посвящена практическим задачам – насущным задачам повседневной жизни той эпохи, в частности задачам раздела наследства, связанным с очень сложными мусульманскими правами наследования. Трактата ал-Хорезми учит, как решать уравнения первой и второй степени с числовыми коэффициентами. Его алгебра целиком риторическая, он не использовал символов даже для чисел. Тем не менее, он различал  три вида чисел: просто числа, которые он обозначал «дирхам» (по названию греческой денежной единицы драхмы); неизвестное, которое он называл «шай» (вещь) или «джизр», когда речь шла о корне уравнения; наконец, он использовал «маал», чтобы обозначить квадрат неизвестного.

     Все уравнения  приводились к шести каноническим типам, которые ал-Хорезми и его  ученики записывали в формах, эквивалентных  следующим:

1. ах²=bx                              4) ax² + bx=c
2. ax²=c                                5) ax² + c=bx