Об аксиомах планиметрии

 

 

 

 

                                                   Реферат

«Об аксиомах планиметрии»

 

 

 

                              

                               Выполнила:Кузьмина А

                                                              Ученица 9 класса                    

                                                              Проверила:Цапкова Н.М 

                                                              Учитель геометрии

                          

 

 

 

                         МОУ «Беломестненская СОШ»  2011 год

                                  

                                  Об аксиомах планиметрии

    При  изучении геометрии мы опирались  на ряд аксиом. Напомним, что аксиомами  называются те основные положения  геометрии, которые принимают в  качестве исходных. Вместе с так называемыми основными понятиями они образуют фундамент для построения геометрии. Первыми основными понятиями, с которыми мы познакомились, были понятия точки и прямой. Определения основных понятий не даются, а их свойства выражаются в аксиомах. Используя основные понятия и аксиомы, мы даем определения новых понятий, формулируем и доказываем теоремы и таким образом изучаем свойства геометрических фигур.

  Отметим, что не все аксиомы, необходимые  для построения планиметрии, были  приведены в нашем курсе-для упрощения изложения некоторые из них мы не формулировали, хотя ими и пользовались. Здесь мы приведем все аксиомы планиметрии.

  Первые  три аксиомы характеризуют взаимное  расположение точек и прямых.

 

1.Каждой  прямой принадлежат по крайней мере две точки.

2.Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

3.Через  любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

 

Для точек, лежащих на одной прямой, мы использовали понятие «лежат между», которое относим к основным понятиям геометрии. Свойство это понятие выраженное в следующей аксиоме:

 

 

4. Из трех точек прямой одна  и только одна лежит между  двумя другими.

 

  Подчеркнем, что, говоря «точка В лежит  между точками А и С», мы  имеем ввиду, что А,В,С – различные  точки прямой и точка В лежит  также между С и А. Иногда  вместо этих слов мы говорим, что точки А и В лежат  по одну сторону от точки ( аналогично  точки В и С лежат по одну сторону от точки А) или точки А и С лежат по разные стороны от точки В.

 

5. Каждая точка О прямой разделяет её на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О.

 

  При этом точка О не принадлежит ни одному из указанных лучей.

  Напомним, что отрезком АВ называется  геометрическая фигура, состоящая  из точек А и В и всех точек прямой АВ, лежащих между А и В. Коротко можно сказать так:  отрезок-это часть прямой, ограниченная двумя точками. Если отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а, то говорят, что точки А и В лежат по одну сторону от прямой а; если же отрезок АВ пересекается с прямой а, то говорят, что точки А и В лежат по разные стороны от прямой а.

 

6.Каждая  прямая а разделяет плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а.

 

    Прямая а называется границей каждой из указанных полуплоскостей; ее точки не принадлежат ни одной из этих полуплоскостей. 

    Следующие  аксиомы связаны с понятиями  наложения и равенства фигур. Понятие наложения относится  в нашем курсе к основным  понятиям геометрии. В главе 1 мы  определили равенство геометрических  фигур, используя понятие наложения. Мы опирались на наглядные  представления о наложении фигур  и допускали, что всякая геометрическая  фигура может перемещаться как  единое целое, наподобие того  как перемещаются материальные  тела. Но геометрические фигуры  не материальные тела, а воображаемые  объекты, поэтому наложение геометрических  фигур следует понимать в особом  смысле.

    Чтобы  выяснить этот смысл, заметим, что  при наложении фигуры Ф на  равную ей фигуру Ф1, как мы представляем его наглядно, каждая точка фигуры Ф накладывается на некоторую точку фигуры Ф1. Иначе говоря, каждая точка фигуры Ф сопоставляется некоторой точке фигуры Ф некоторой точке фигуры Ф1 и без непосредственного наложения Ф на Ф1. Такое сопоставление называется отображением фигуры Ф на фигуру Ф1. Под наложением фигуры Ф на фигуру Ф1 мы понимаем отображение Ф на Ф1. Более того, мы считаем, что при этом не только точки фигуры Ф,  но и любая точка плоскости отображается на определенную точку плоскости, т.е. наложение – это отображение плоскости на себя.

     Однако не всякое отображение  плоскости на себя мы называем  наложением. Наложения – это такие  отображения плоскости на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах. Что бы сформулировать эти аксиомы, введем понятие равенства фигур. Пусть Ф и Ф1 – две фигуры.  Если существует наложение, при котором фигура Ф отображается на фигуру Ф1. Сформулируем теперь аксиомы о свойствах наложений.

 

7. Если при наложении совмещаются  концы двух отрезков, то совмещаются  и сами отрезки.

8. На любом луче от его начала  можно отложить отрезок, равный  данному, и притом только один.

 

   Это  означает, что если даны какой – то луч ОА и какой – то неразвернутый угол CDE, то в каждой из двух полуплоскостей с границей ОА существует, и притом только один, луч ОВ, такой, что угол CDE равен углу АОВ.

 

10. Любой угол hk можно совместить наложением с равным ему углом h1k1 двумя способами: 1) так, что луч h совместится с лучом h1,а луч  k- с лучом k1; 2) так, что луч h совместится с лучом k1, а луч k – с лучом h1.

11. Любая фигура равна самой себе.

12. Если фигура Ф равна фигуре  Ф1, то фигура Ф1 равна фигуре Ф.

13. Если фигура Ф1 равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фигуре Ф3, то фигура Ф1 равна фигуре Ф3.

 

    Как  видно, все приведенные аксиомы  соответствуют нашим наглядным  представлениям о наложении и  равенстве фигур и поэтому  не вызывают сомнений.

    Следующие  две аксиомы связаны с измерением  отрезков. Прежде чем их сформулировать, напомним, как измеряются отрезки. Пусть АВ – измеряемый отрезок, PQ – выбранная единица измерения отрезков. Н а луче АВ отложим отрезок АА1=PQ, на луче А1В – отрезок А1А2=PQ и т.д. до тех пор, пока точка Аn не совпадет с точкой В либо точка В не окажется лежащей между Аn+ Аn+1. В первом случае говорят, что длина отрезка АВ при единице измерения PQ выражается числом  n. Во втором случае можно сказать, что длина отрезка АВ при единице измерения PQ приближённо выражается числом n. Для более точного измерения отрезок PQ делят на равные части, обычно 10 равных частей, и с помощью одной из этих  частей измеряют описанным способом остаток АnВ. Если при этом десятая часть отрезка PQ не укладывается целое число раз в измеряемом остатке, то её также делят на 10 равных частей и продолжают процесс измерения. Мы предполагаем, что таким способом можно измерить любой отрезок, т.е. выразить его длину при данной единице измерения конечной или бесконечной десятичной дробью. Это утверждение кратко сформулируем  так:

 

14. При выбранной единице измерения  отрезков длина каждого отрезка  выражается положительным числом.

 

    Кроме  того, мы принимаем аксиому существования  отрезка данной длины.

 

15. При выбранной единице измерения  отрезков для любого положительного  числа существует отрезок, длина  которого выражается этим числом.

 

   Систему  аксиом планиметрии завершает  аксиома параллельных прямых.

 

16. Через  точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая,  параллельная данной.

 

    Отметим, что для построения геометрии  можно использовать различные  системы аксиом. Например, вместо  аксиомы параллельных прямых  можно принять в качестве аксиомы  утверждение о том, что сумма  углов треугольника равна 180 градусов. Тогда утверждение «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной» можно доказать как теорему. От различных систем аксиом требуется лишь, чтобы они были эквалентны, т.е. приводили бы к одним и тем же выводам.

    Иногда  стремятся к тому, чтобы аксиомы  были независимы, т.е. ни одну из  них нельзя было вывести из  остальных. Мы не ставили перед  собой такой цели. Например, утверждение аксиомы 5 может быть доказано на основе остальных аксиом, т.е. фактически это утверждение является теоремой, а не аксиомой. Однако для упрощения изложения мы приняли его в качестве аксиомы.

   В  заключение мы рассмотрим одну  из самых первых теорем нашего  курса- теорему, выражающую первый признак равенства треугольников (п.15). Её доказательство опиралось на наглядные представления о наложении и равенстве фигур, понятие аксиомы тогда еще не было введено. Напомним это доказательство и рассмотрим его с точки зрения принятых нами аксиом.

   Нужно  было доказать что если АВ=А1В1, АС=А1С1 и угол А= углу А1, то треугольники АВС и А1 В1 С1 равны. С этой целью мы рассматривали такое наложении, при котором вершина А совмещается с вершиной А1, а стороны АВ и АС треугольника АВС накладываются соответственно на лучи А1 С1 и А1 В1.При этом мы опирались на наглядно очевидный факт, что такое наложение существует, поскольку углы А и А1 равны. Теперь можно сказать что существование такого наложения следует из аксиомы 10.

     Далее мы рассуждаем так: поскольку  АВ=А1В1, АС=А1С1, то сторона АВ совместима  со стороной А1В1, а сторона  АС – со стороной А1С1, в частности совместятся точки В и В1, С и С1. Как обосновать этот факт, опираясь на аксиомы? Очень просто.

   По  аксиоме 8 на луче А1В1 от точки  А1 можно отложить только один отрезок, равный отрезку АВ. Но по условию теоремы АВ=А1В1, поэтому при нашем наложении точка В совместится с точкой В1. Аналогично точка С совместится с точкой С1. Остается сослаться на аксиому 7, чтобы обосновать тот факт, что сторона ВС совместится со стороной В1С1. Теперь можно сделать вывод, что треугольники  АВС и А1В1С1 полностью совместились и, значит, они равны.

     Как видим, само доказательство  теоремы о первом признаке  равенства треугольников, по существу, не изменилось, только теперь  мы опирались уже не на наглядно  очевидные факты, а на аксиомы, в которых эти факты выражены.