Некоторые приложения финансовой математики

     На  интервале времени t₁ задолженность возрастает до величины D₁. В момент t₁ долг уменьшается до величины K₁=D₁-R₁ и т. д. Заканчивается операция получением кредитором остатка задолженности R₃. В этот момент задолженность полностью погашается.

     С помощью последовательных частичных  платежей иногда погашаются краткосрочные  обязательства. В этом случае существуют два метода расчёта процентов и определения остатка задолженности: 

1. Актуарный метод предполагает последовательное начисление процентов на фактические суммы долга.

Для случая, показанного на рис.1, получим следующие  расчётные формулы для определения остатка задолженности: 

K₁=D₀(1+t₁i)-R₁; K₂=K₁(1+t₂i)-R₂;

K₂(1+t₃i)-R₃=0,

                   

где t₁, t₂, t₃ – периоды времени, заданные в годах; i – годовая процентная ставка. 

2. Правило торговца.

При общем  сроке ссуды t ≤1 можно записать следующее выражение: 

                             

                   

где S – остаток долга на конец срока; D – наращенная сумма долга; K – наращенная сумма платежей; R_j – сумма частичного платежа; t_j – интервал времени от момента платежа до конца срока; m – число частичных (промежуточных) платежей; P – ссуда банка. 

Переменная  сумма счёта и расчёта процентов. 

     Рассмотрим  ситуацию, когда в банке открыт сберегательный счёт, который изменяется в течение срока хранения: денежные средства снимаются, делаются дополнительные взносы. Тогда в банковской практике при расчёте процентов часто используют методику расчёта с вычислением так называемых процентных чисел. Каждый раз, когда сумма счёта изменяется, вычисляется процентное число С_j за прошедший период j, в течение которого сумма на счёте осталась неизменной, по формуле 

C_{j =} P_jt_j/ 100, 

где t_j – длительность j – го периода в днях, P_j – сумма на вкладе j-го периода.

     Для определения суммы процентов, начисленной  за весь срок, все процентные числа складываются, и их сумма делится на постоянный делитель D: 

D=K/i,     

              

где К  – временная база (число дней в году, т.е. 360,365 или 366);

i – годовая ставка простых процентов, %.

     При закрытии счёта владелец получит  сумму, равную последнему значению суммы на счёте плюс сумма процентов. 

     Пример. 

     Вкладчиком 20 января в банке был открыт счёт до востребования в размере Р₁=1000$, процентная ставка по вкладу составляла i=17% годовых. Дополнительный взнос на счёт составил R₁=2000$ и был сделан 10 февраля. Снятие со чёта в размере R₂=1500$ зафиксировано 3 марта. 10 апреля того же года счёт был закрыт.

       Определить сумму процентов и  общую сумму, полученную вкладчиком  при закрытии счёта. При расчётах  принять схему 360/360, простые проценты  с приближенным числом дней ссуды. 

     Решение 

     В задаче имеются 3 периода, в течение  которых сумма на счёте оставалась неизменной: с 20 января по 10 февраля (Р₁=1000$; t₁=21), с 10 февраля по 3 марта (t₂=21; P₂=P₁+R₁=1000$+2000$=3000$), с 3 марта по 10 апреля (P₃=P₂+R₂=3000$-1500$=1500$; t₃=38).

     Найдем  процентные числа: 

     C_{1 =} P₁t₁/ 100=1000^.21/100=210

     C_{2 =} P₂t₂/ 100=3000^.21/100=630

     C_{3 =} P₃t₃/ 100=1500^.38/100=570 

     Постоянный  делитель 

     D=K/i=360/17=21 

     Сумма процентов 

     I=(C₁+C₂+C₃)/D=(210+630+570)/21=67$ 

     Сумма, выплачиваемая при закрытии счёта 

     P₃+I=1500$+67$=1567$ 

     Из  алгоритма следует, что на каждую сумму, добавляемую на счёт или снимаемую  со счёта, начисляются проценты с  момента совершения соответствующей  операции до закрытия счёта. Эта схема  соответствует правилу торговца. 
 

Модели  операций с ценными бумагами 

Облигации.

     Облигация – вид ценной бумаги, по которой её владельцу выплачивается ежегодный доход, размер которого заранее установлен в форме определенного процента к номиналу облигации или же выплачивается в виде выигрышей, разыгрываемых в тиражах.

     По  сроку погашения различают краткосрочные облигации (несколько недель), среднесрочные (до 7 лет) и долгосрочные (свыше 7 лет). Выпускаются облигации и без указания срока погашения. Такие облигации могут быть выкуплены в любой момент.

     Применяются выплаты дохода по облигациям по фиксированным и переменным во времени процентным ставкам. Возможна также плавающая процентная ставка в зависимости от уровня ссудного процента.

     Для защиты от инфляции практикуется индексирование номиналов облигаций пропорционально индексу потребительских цен.

     Доходом от облигаций являются фиксированные проценты в сумме с разностью между номинальной стоимостью облигации и ценой её покупки, а также доходом от реинвестиций процентных денег.

     Под курсом облигации p_k% понимается отношение цены P, по которой продаётся облигация, к номинальной стоимости облигации N в процентах: 

 

     Несмотря  на более низкий доход по сравнению  с другими видами ценных бумаг, облигации  – более надёжный метод инвестиций капитала и поэтому находят широкое применение в финансовой практике, являясь обязательной составляющей активов страховых, инвестиционных и пенсионных фондов, финансовых компаний. 

Акции.

     Акции – представляют собой долевые ценные бумаги, свидетельствующие об участии из владельца в собственном капитале компании.

Акции бывают простыми и привилегированными.

     По  простым акциям размер дивидендов заранее не фиксируется и не гарантируется. Простые акции дают право на участие в управлении акционерным обществом по принципу: одна акция – один голос.

     Владельцы привилегированных акций имеют  преимущественное право на получение  дивидендов, гарантированный фиксированный  процент, долю в остатке активов  при ликвидации компании.

     Под курсовой стоимостью акции (курсом акции) понимается цена акции, складывающаяся на фондовом рынке при её покупке или продаже.

     Под номинальной стоимостью акции (номинал) понимается указанная на акции цена, по которой она продаётся при первичном размещении акционерного капитала.

Источником дохода от покупки акции является разница между ценой продажи акции, через какой – то период времени и ценой покупки плюс дивиденды.

Доходы  от привилегированных акций.

     Доход от привилегированных акций (D) равен процентным деньгам (D%) плюс разность между ценой, по которой акции проданы через некоторое время p^’, и ценой покупки акции p: 

D=D%+p^’-p.    

                   

Без реинвестиций 

D%=N n p,   

                             

где p – процентная ставка по привилегированным акциям; n – срок в годах от покупки до продажи; N - номинальная стоимость акции.

     Если  процентные деньги вновь инвестируются  под процентную ставку сложных процентов  i_с, то наращенная сумма представляет собой сумму финансовой ренты: 

D%= N p [(1+i_c)ⁿ-1]/i_c.          

                       

     Доходность  от вложения денег в привилегированные  акции найдём с использованием эффективной  ставки сложных процентов (i_эс): 

D=p(1+i_эс)ⁿ-p

 

Пример   .

Фирма приобрела 20 привилегированных акций  номиналом по 200 тыс. $ с фиксированной процентной ставкой 15% в год. Стоимость этих акций ежегодно возрастает на 5% относительно номинальной. Полученные проценты вновь инвестируются под 7% годовых. Определить ожидаемый доход и доходность продажи акций через 2 года.

Решение.

Процентные  деньги от 20 акций за год составят: 

D₁%=0,15^.200^.20=600тыс$ 

Доход от реинвестиций с учётом D%= N p [(1+i_c)ⁿ-1]/i_c: 

D%=D₁%[(1+i_c)ⁿ-1]/i_c=600^.[(1+0,07)²-1]/0,07=1242 тыс.$ 

Цена покупки  акций: 

p=2000^.20=4000 тыс.$ 

Стоимость акций  через 2 года: 

p'=2000^.20+0,05^.2000^.20^.2=4400 тыс.$ 

Ожидаемый доход: 

D=1242+4400-4000=1642 тыс.$ 

Эффективная процентная ставка доходности сделки по формуле составит: