Но  многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида привели  в конце концов к появлению  новой геометрии, отличающейся от евклидовой тем, что в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия теперь называется неевклидовой, а в России носит имя Лобачевского, который впервые опубликовал работу с ее изложением.

      И одной из предпосылок геометрических открытий Н. И. Лобачевского (1792-1856) был  как раз его материалистический подход к проблемам познания. Лобачевский Он был твердо уверен в объективном и не зависящем от человеческого сознания существовании материального мира и в возможности его познания. В речи “О важнейших предметах воспитания” (Казань, 1828) Лобачевский сочувственно приводит слова Ф. Бэкона: “оставьте трудиться напрасно, стараясь извлечь из одного разума всю мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины и на все вопросы ваши будет отвечать вам непременно и удовлетворительно”. В своем сочинении “О началах геометрии”, являющемся первой публикацией открытой им геометрии, Лобачевский писал: “первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным – не должно верить”. Тем самым Лобачевский отвергал идею об априорном характере геометрических понятий, поддерживавшуюся И. Кантом.

      Первые  попытки Лобачевского доказать пятый  постулат относятся к 1823 году. К 1826 году он пришел к убеждению в том, что V постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида и 11(23) февраля 1826 года сделал на заседании факультета казанского университета доклад “Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных”, в котором были изложены начала открытой им “воображаемой геометрии”, как он называл систему, позднее получившую название неевклидовой геометрии. Доклад 1826г. вошел в состав первой публикации Лобачевского по неевклидовой геометрии – статьи “О началах геометрии”, напечатанной в журнале Казанского университета “Казанский вестник” в 1829-1820гг. дальнейшему развитию и приложениям открытой им геометрии были посвящены мемуары “Воображаемая геометрия”, “Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам” и “Новые начала геометрии с полной теорией параллельных”, опубликованные в “Ученых записках” соответственно в 1835, 1836 и 1835-1838 гг. Переработанный текст “Воображаемой геометрии” появился во французском переводе в Берлине, там же в 1840г. вышли отдельной книгой на немецком языке “Геометрические исследования по теории параллельных линий” Лобачевского. Наконец, в 1855 и 1856 гг. он издал в Казани на русском и французском языках “Пангеометрию”.

      Высоко  оценил “Геометрические исследования” Гаусс, который провел Лобачевского (1842) в члены-корреспонденты Геттингенского ученого общества, бывшего по существу Академией наук ганноверского королевства. Однако в печати в оценкой новой геометрической системы Гаусс не выступил.

Развитие  евклидовой геометрии

      Коллега Лобачевского по Казанскому университету П.И. Котельников (1809-1879) в своей актовой  речи 1842 г. открыто заявил: “не могу умолчать о том, что тысячелетние тщетные попытки доказать со всей математической строгостью одну из основных теорем геометрии, равенство суммы углов в прямолинейном треугольнике двум прямым, побудили достопочтенного заслуженного профессора нашего университета предпринять изумительный труд - построить целую науку, геометрию, на новом предложении: сумма углов в прямолинейном треугольнике меньше двух прямых – труд . который рано или поздно найдет своих ценителей”. За исключением этого выступления неизвестны другие официальные положительные отзывы о Лобачевском, как о творце новой геометрии. На “Аппендикс” Я. Бояи и вовсе не имелось откликов. Гаусс же, как уже говорилось, избегал публикации своих открытий.

      Ситуация  изменилась только в 60-х годах XIX века. Несмотря на враждебное отношение отдельных  влиятельных математиков старших  поколений, к изучению и разработке неевклидовой геометрии приступает все большее число выдающихся молодых ученых. Некоторую роль в этом сыграло посмертное издание писем Гаусса. В Европе идеи неевклидовой геометрии воспринимаются с энтузиазмом, появляются переводы трудов Лобачевского. Меняется отношение к новой геометрии и в России. В 1868 г. профессор Московского высшего технического училища А. В. летников (1837-1888) поместил в III тому “Математического сборника” русский перевод “Геометрических исследований” Лобачевского с предисловием, в котором геометрические труды Лобачевского характеризуются как “весьма замечательные, но мало известные”, а профессор Э. П. Янишевский опубликовал в Казани “Историческую записку о жизни и деятельности Н. И. Лобачевского”. И, наконец, в том же 1868 году выходит статья Э. Бельтрами(1835 - 1900) об интерпретациях геометрии Лобачевского “опыт интерпретации неевклидовой геометрии”, в которой он отправлялся от работ Миндинга. В этой работе Бельтрами вычислил линейный элемент (квадрат дифференциала дуги) плоскости Лобачевского в координатах u, v, равных расстояниям точки от двух взаимно перпендикулярных прямых, деленным на r (в настоящее время эти координаты называют бельтрамиевыми), и нашел, что в этой системе координат линейный элемент имеет вид

      Вычисляя далее гауссову кривизну поверхности с таким линейным элементом, Бельтрами обнаружил, что гауссова кривизна плоскости Лобачевского во всех ее точках равна одному и тому же числу  
, то есть что плоскость Лобачевского можно рассматривать как поверхность постоянной отрицательной кривизны.

      Так как всякую поверхность с точки  зрения ее внутренней геометрии можно  рассматривать как интерпретацию  любой поверхности, наложимой на нее, а необходимым и достаточным  условием наложимости поверхностей является равенство гауссовых кривизн в соответственных точках поверхностей, Бельтрами сделал вывод, что плоскость Лобачевского может быть интерпретирована любой поверхностью постоянной отрицательной кривизны.

      Впоследствии (1900) Гильберт доказал, что всякая поверхность  постоянной отрицательной кривизны в евклидовом пространстве изометрична только части или нескольким частям плоскости Лобачевского, но никогда не изометрична плоскости Лобачевского целиком.

      С другой стороны, рассматривая точки  евклидовой плоскости с координатами, численно равными “бельтрамиевым координатам” u, v плоскости Лобачевского, Бельтрами получает вторую интерпретацию. Так как координаты u, v связаны условием при этой интерпретации вся плоскость Лобачевского изображается внутренностью круга, ограниченного окружностью

      Бальтрами показал, что прямые линии плоскости  Лобачевского при этом изображаются хордами этого круга, а расстояние токи Р с координатами (u,v) до начала координат 0 равно

      Хотя  Бельтрами не дал формулы для  расстояния между двумя произвольными  точками и не выяснил, как в его интерпретации изображаются движения плоскости Лобачевского, эта интерпретация Бельтрами явилась первым, правда, неполным, доказательством непротиворечивости плоскости Лобачевского.

      Впоследствии  появились интерпретации Кэли и  Клейна

      Лобачевский указывал но связь геометрии с  физикой, и хотя его измерения  углов с треугольника с громадными астрономическими размерами показали еще справедливость евклидовой геометрии, на самом деле, как оказалось позже, поправки, полученные в рамках теории, основанной именно на неевклидовой геометрии, оказались заметными даже внутри планетной системы, объяснив знаменитую аномалию движения Меркурия, обнаруженную в XIX столетии Леверье.

      Неевклидова геометрия сыграла огромную роль во всей современной математике, и фактически в теории геометризованной гравитации марселя Гросмана-Гильберта-Эйнштейна(1913-1915). Довольно неожиданно, еще раньше была установлена вязь кинематики Лоренца-Пуанкаре с геометрией Лобачевского. В 1909 году Зоммерфельд показал, что закон сложения скоростей данной кинематики связан с геометрией сферы мнимого радиуса (подобное соотношение уже отмечали Лобачевский и Бояйи). В 1910 году Варичак указал на аналогию данного закона сложения скоростей и сложения отрезков на плоскости Лобачевского.

      Предположение Лобачевского, что реальные геометрические отношения зависят от физической структуры материи, нашло подтверждение  не только в космических масштабах. Современная теория квант все  с большей настоятельностью выдвигает  необходимость применения геометрии, отличной от евклидовой, к проблемам микромира.

Заключение

      Новая система геометрии не получила признания  при жизни ее творцов.

      Высокая оценка гауссом открытия Лобачевского была связана с тем, что Гаусс, еще с 90-х годов XVIII в. занимавшийся теорией параллельности линий ,пришел к тем же выводам, что и Лобачевский. Свои взгляды по этому вопросу Гаусс не публиковал, они сохранились только в его черновых записках и в немногих письмам к друзьям. В 1818 г. в письме к австрийскому астроному Герлингу (1788-1864) он писал: “Я радуюсь, что вы имеете мужество высказаться так, как если бы Вы признавали ложность нашей теории параллельных, а вместе с тем и всей нашей геометрии. Но осы, гнездо которых Вы потревожите, полетят Вам на голову”; по-видимому, под “потревоженными осами” Гаусс имел в виду сторонников традиционных взглядов на геометрию, а также априоризма математических понятий.

Список  литературы

1. Математика XIX века, “Наука”, М., 1981
2. Юшкевич А.П., История математики в России, “Наука”, М., 1968
3. Ефимов Н.В., Высшая геометрия, “Наука”, М.,1971.
4. Неевклидовы пространства и новые проблемы физики, “Белка”, М., 1993
5. Клайн М., Математика. Утрата определенности, “Мир”, М., 1984