Методы приближённого интегрирования

   Если  x₀=-h, то

   Если  x₁=0, то                           (6)

   Если  x₂=-h, то

 Считая коэффициенты A. B, C известными определим площадь параболической трапеции с помощью определённого интеграла:

     

из равенства (6) следует, что

   

следовательно: ч.т.д. пользуясь формулой (5), можно написать приближённые равенства, учитывая, что                   

 

складывая левые и правые части, получим  слева искомый интеграл, справа его  приближённое значение:

или

     (7)

Это и  есть формула Симпсона. Здесь число  точек деления произвольно, но чем это число больше, тем точнее сумма в правой части равенства (6) даёт значение интеграла. Формула Симпсона даёт самое точное значение интеграла (из классических формул приближённого интегрирования), погрешность для этого метода находится по формуле: где  

Б) Без использования парабол

   В тех случаях, когда линия y=f(x) между x=a и x=b мало изогнута, интеграл приближенно выражается достаточно простой формулой. Будем считать f(x) положительной и искать площадь криволинейной трапеции aABb. Для этого разделим отрезок [a;b] точкой пополам и в точке c(c,f(c))проведём касательную к линии y=f(x). После этого разделим [a,b] точками p и g на 3 равные части и проведём через них прямые x=p и x=q. P и Q – точки пересечения прямых с касательной. Соединив AP и BQ, получим 3 прямолинейные трапеции aAPp, pPQq, qQBb. Сумма площадей этих трапеций равна будет примерно равна площади криволинейной трапеции aABb:

Обозначим: Aa, Pp, qQ, bB – основания трапеций;

- высота трапеций, в данном  случае число n строго задано n=3

Получаем:

(8)

Обозначим, что: aA=f(a)=y_a, bB=f(b)=y_b. Отрезки pP и qQ не являются ординатами точек линии y=f(x), так как P и Q лежат на касательной. Но нам нужна сумма этих отрезков, которая выражается через среднюю линию трапеции и равна полусумме её оснований, откуда . Значит . Формула (8) принимает вид:

(9). Эта формула называется малой формулой Симпсона.

    Малая формула  Симпсона пригодна, когда график подынтегральной функции мало изогнут, например для случая, изображённого на рисунке, применять малую формулу уже нельзя, так как она даёт значение 0 на [a,b]. Но если отрезок [a,b] разбить на части [a,c] и [c,b] и к каждому из них применить формулу (9), то получится приемлемый результат.

   Эта идея лежит в основе вывода «большой»  формулы Симпсона.

   Для вычисления интеграла выберем какое-либо чётное число и разложим [a,b] на n равных частей точками . Интеграл представим в виде суммы . К каждому слагаемому справа применим малую формулу Симпсона. Учитывая, что в каждом интеграле длина промежутка интегрирования , и положить , то получим:

       

Раскроем  скобки:

Это и  есть «большая формула Симпсона». Её точность, также как и у всех формул рассмотренных выше, тем выше, чем больше n. Эта формула совпадает с формулой (7), выведенной с помощью парабол. Для оценки погрешности формулы Симпсона используется формула:

   Качество  этой формулы лучше, чем формулы трапеции и прямоугольников, так как при одном и том же n она даёт большую точность.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   ПРАКТИКА

   Общий вид интеграла, решение которого, будет рассмотрено в этом разделе:

   Заданные значения:

   a=0; c=0,3; m=2; b=3; k=7.

Подставим заданные значения:

    . 
Сначала, решим искомый интеграл напрямую, основываясь на полученные ранее знания.

Применим метод  замены:

Разделим  отрезок [0;3] на n=10 равных частей и найдём шаг деления:

Найдём  значение подынтегральной функции:

ФОРМУЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ: 

1.Входящих

2.Выходящих

3.Средних

 

Определим погрешность метода прямоугольников:

   P_np=

М₂ – максимальное значение второй производной на данном промежутке. 

ФОРМУЛА ТРАПЕЦИЙ

Определим погрешность метода трапеции:

М₂ – максимальное значение второй производной на данном промежутке. 

ФОРМУЛА СИМПСОНА

Определить  погрешность метода Симпсона:

М₄ – максимальное значение четвёртой производной на данном промежутке. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  ЗАКЛЮЧЕНИЕ

  В завершении работы, хочется отметить ряд особенностей применения рассмотренных выше методов. Каждый способ приближённого решения определённого интеграла имеет свои преимущества и недостатки, в зависимости от поставленной задачи следует использовать конкретные методы. Если необходимо быстро получить решение, но нет необходимости в большой точности ответа, следует воспользоваться одним из методов прямоугольника. Если же необходимо получить наиболее точный результат, идеально подходит метод Симпсона. Метод трапеций даёт ответ более точный, чем метод прямоугольников, но методу Симпсона он сильно уступает, этот метод можно назвать «золотой серединой» между двумя другими. 

   СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. И.П. Натансон : Краткий курс высшей математики
2. И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигун : Математика для техникумов
3. И.А. Сахарников : Высшая математика
4. П.П. Коровнин : Математический анализ
5. Л.И.Лихтарников, А.Н. Поволоцкий : основы математического анализа