Метод вращений решения линейных систем

Метод вращений решения  линейных систем 

    Как и в методе Гаусса, цель  прямого хода преобразований  в этом методе–приведение системы  к треугольному виду последовательным  обнулением поддиагональных элементов сначала первого столбца, затем второго и т.д.

       Умножим первое уравнение исходной  системы (1) на с₁ ,второе на s₁ и сложим их ; полученным уравнением заменим первое уравнение системы. Затем первое уравнение исходной системы умножаем на –s₁ , второе на c₁  и результатом их сложения заменим второе уравнение . Таким образом, первые два уравнения (1) заменяются уравнениями

         

   Отсюда  . Эти числа можно интерпретировать как косинус и синус некоторого угла (отсюда название метод вращения, каждый шаг такого преобразования можно рассматривать как вращение расширенной матрицы системы в плоскости обнуляемого индекса).

   В результате преобразований получим систему 

где

 

Далее первое уравнение системы заменяется новым, полученным сложением результатов  умножения первого и третьего уравнений соответственно на

а третье–уравнением,  полученное  при сложении   результатов умножения  тех же

где

Выполнив  преобразование m-1 раз, придем к системе

      Вид полученной системы такой  же, как после первого этапа  преобразований методом Гаусса. Эта система обладает следующим свойством: длина любого вектора-столбца (эвклидова норма) расширенной матрицы остается такой же, как у исходной матрицы. Следовательно, при выполнении преобразований не наблюдается рост элементов.

   Далее по этому же алгоритму преобразуется матрица

и т.д.

   В результате m-1 этапов прямого хода система будет приведена к треугольному виду.

   Нахождение  неизвестных не отличается от обратного  хода метода Гаусса.

Всего метод вращения требует примерно операций умножения и деления. 

Пример: 

Дана СЛУ:

х₁+2х₂+3х₃=8

3х₁+х₂+х₃=3

2х₁+3х₂+х₃=5 

Умножим первое уравнение на с1, второе на s1, сложим их, а потом умножим первое на ( –s1), а второе на с1 и сложим. Результат : система (1)  из 2 измененных уравнений и 1 оставшегося: 

x1(c1+3s1)+x2(2c1+s1)+x3(3c1+s1)=8c1+3s1

x1(3c1-s1)+x2(c1-2s1)+x3(c1-3s1)=3c1-8s1

2x1+3x2+x3=5 

Найти c1 и s1  

-s1+3c1=0 

c1=1/10^1/2 

s1=3/10^1/2 

Подставим эти  значения в первые два уравнения системы  (1), получим новую систему (2): 

10x1+5x2+6x3=17

         -5x2-8x3=-21

2x1+3x2=5 

Умножим уравнение 1 из системы(2) на с2, третье на s2, сложим их, а потом умножим первое на ( –s2), а второе на с2 и сложим. Результат : система (3): 

2x1(5c2+s2)+x2(5c2+3s2)+x3(6c2+s2)=17c2+5s2

2x1(c2-5s2)+x2(3c2-5s2)+x3(c2-5s2)=5c2-17s2 

Найти c2 и s2: 

-10s2+2c2=0 

c2=5/26^1/2

s2=1/26^1/2 

Подставим эти  значения в уравнения 1 и 3 системы (3), получим систему (4): 

52x1+28x2+31x3=90

-5x2-8x3=-21

-10x2-x3=-8 

Теперь, оставляя 1 уравнение без изменений, умножим  второе на с3, третье на s3, сложим их., умножим второе на (-s3), третье на с3, сложим и их. Результат : система (5): 

52x1+28x2+31x3=90

5x2(-c3-2s3)+x3(-8c3-s3)=-21c3-8s3

5x2(-2c3+s3)+x3(-c3+8s3)=-8c3+21s3 

Найдем c3 и s3: 

10s3-5c3=0 

c3=-1/5^1/2

s3=-2/5^1/2 

Подставим найденные  значения во 2 и 3 уравнения системы (5) и найдем результирующую систему (6): 

52x1+28x2+31x3=90

            35x2-10x3=15

                   -15x3=-30 
 

Ответы:

х1=0

х2=1

х3=2