Метод скользящей средней

Вариант 4

 

        Задание 1. Имеются данные численности  наличного населения города Г за 2001–2009 гг. (на начало года), тыс. чел.

 

      1. Постройте прогноз численности  наличного населения города Г  на 2010-2011 гг., используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов.

      2. Постройте график фактического  и расчетных показателей.

      3. Рассчитайте ошибки полученных  прогнозов при использовании каждого метода.

      4. Сравните полученные результаты, сделайте вывод. 

Решение: 

Метод скользящей средней.  

Для того, чтобы  рассчитать прогнозное значение необходимо:

   1. Определить величину интервала сглаживания, например равную 3(n=3).

   2. Рассчитать скользящую среднюю для первых трех периодов:

m2002=(У2001+У2002+У2003)/3=(106,8+106+105,4)/3=106,06

m2003=(У2002+У2003+У2004)/3=(106+105,4+103)/3=104,8

m2004=(У2003+У2004+У2005)/3=(105,4+103+102,8)/3=103,7

m2005=(У2004+У2005+У2006)/3=(103+102,8+102,7)/3=102,8

m2006=(У2005+У2006+У2007)/3=(102,8+102,7+102,7)/3=102,7

m2007=(У2006+У2007+У2008)/3=(102,7+102,7+102,6)/3=102,6

m2008=(У2007+У2008=У2009)/3=(102,7+102,6+102,5)/3=102,6

Для решения  задачи составим таблицу: 

 
 

3. Рассчитав  скользящую среднюю для всех  периодов строим прогноз на 2010 год:

У2010=102,6+1/3(102,5-102,6)=102,6-0,03=102,57

Определяем скользящую среднюю m для 2010 года:

m= (102,6+102,5+102,57)/3=102,5

Строим прогноз  на 2011 год?

У2011= 102,5+1/3(102,57-102,5)=102,52

Заносим полученный результат в таблицу.

Рассчитываем  среднюю относительную ошибку

ε =1,34/7=0,19 

Метод экспоненциального  сглаживания. 

Определяем значение параметра сглаживания

2/n +1=2/9+1=1,2

Определяем начальное  значение U0 двумя способами:

1 способ (средняя  арифметическая)

U0=106,8+106+105,4+102+102,8+102,7+102,6+102,5=934,5/9=103,8

2 способ (принимаем первое значение базы прогноза) U0=109,8 

       Расчетная таблица 

 

Рассчитываем  экспоненциально взвешенную среднюю  для каждого года:

1способ:

U2001=106,8*0,2+(1-0,2)*103,8=104,76

   2002=106*0,2+(1-0,2)*104,76=105,0

   2003=105,4*0,2+(1-0,2)*105,0=105,08

   2004=103*0,2+(1-0,2)*105,08=104,6

  2005=102,8*0,2+(1-0,2)*104,6=104,24

  2006=102,7*0,2+(1-0,2)*104,24=103,9

  2007=102,7*0,2+(1-0,2)*103,9=103,66

  2008=102,6*0,2+(1-0,2)*103,66=103,4

  2009=102,5*0,2+(1-0,2)*103,4=103,2

Итого: 937,8 

2 способ:

U2001=106,8*0,2+(1-0,2)*106,8=106,8

  2002=106*0,2+(1-0,2)*106,8=106,6

  2003=105,4*0,2+(1-0,2)*106,6=106,3

  2004= 103*0,2+(1-0,2)*106,3=105,6

  2005=102,8*0,2+(1-0,2)*105,6=105,04

  2006=102,7*0,2+(1-0,2)*105,04=104,5

  2007=102,7*0,2+(1-0,2)*104,5=104,14

  2008=102,6*0,2+(1-0,2)*104,14=103,8

  2009=102,5*0,2+(1-0,2)*103,8=103,54

Итого: 946,3 

Рассчитаем прогнозное значение:

U2010=102,5*0,2+0,9*103,2=113,4 ( 1 способ)

U2011=102,5*0,2+0,9*103,54=113,6 ( 2 способ)

Средняя относительная  ошибка:

ε =9,4/9=1?04% (1 способ)

ε  =11,4/9=1,26% ( 2 способ) 
 

Метод наименьших квадратов. 

Для решения  используем следующую таблицу. 

Определим условное обозначение времени как последовательную нумерацию периодов базы прогноза. Рассчитаем графы 4 и 5. Ур определим  по формуле, а коэффициент a и b тоже по формуле: 

4639,4 - (45 * 934,5) / 9

    a =    285 - 45^2 / 9      = -0,5 

b= 934,5/9-(-0,5*45/9)=106,3

У2001=-0,5*1+106,3=105,8

  2002=-0,5*2+106,3=105,3

  2003=-0,5*3+106,3=104,8

  2004=-0,5*4+106,3=104,3

  2005=-0,5*5+106,3=103,8

  2006=-0,5*6+106,3=103,3

  2007=-0,5*7+106,3=102,8

  2008=-0,5*8+106,3=102,3

  2009=-0,5*9+106,3=101,8 

Заносим полученные результаты в таблицу. Определяем прогнозное значение:

У2010=-0,5*10+106,3=101,3

У2011=-0,5*11+106,3=100,8 

ε = 5,69/9=0,63%.