Метод прогонки

Метод прогонки 

Выполнила: ст.гр. ПИ-08

Цыренжапова Евгения

• Прогонкой  называется модификация метода  Гаусса для решения систем  линейных алгебраических уравнений  с трехдиагональной матрицей 

• Суть метода  прогонки заключается в том, что, используя специфику структуры  матрицы системы уравнений (наличие  трех диагоналей), удается получить  рекуррентные формулы для вычисления  последовательности коэффициентов  прогонки, которые позволяют на обратном ходу вычислить значения функции в узлах сетки.

Виды прогонки 

• Прямая
• Обратная
• Корректная
• Устойчивая

Код, реализующий  метод прогонки  

• void sweep(double  a[N][N],double b[N])
• {
• int i;
• double znam;
• b[0]/=a[0][0];//Q1
• a[0][1]/=-a[0][0];//P1
• for(i=1;i < N-1;i++)
• {
• znam=-a[i][i]-a[i][i-1]*a[i-1][i]; //общий знаменатель для формул нахождения Pi, Qi
• a[i][i+1]/=znam; //Pi
• b[i]=(a[i][i-1]*b[i-1]-b[i])/znam; //Qi
• }

 

• //строка ниже  для вычисления QN
• b[N-1]=(a[N-1][N-2]*b[N-2]-b[N-1])/(-a[N-1][N-1]-a[N-1][N-2]*a[N-2][N-1]);
• //обратный ход
• for(i=N-2;i > -1;i--)
• {
• b[i]+=b[i+1]*a[i][i+1];
• }
• return;
• }

Решение  СЛАУ методом прогонки 

• Для решения  систем вида                   или                                                         (1)

   используется метод прогонки, основанный на предположении, что искомые неизвестные связаны рекуррентным соотношением:  

где                                               (2)

• Используя это  соотношение, выразим xi-1 и xi через xi+1 и  подставим в уравнение (1):

 

• где Fi — правая часть i-го уравнения. Это соотношение будет выполняться независимо от решения,

• Отсюда следует:

 
 
 

• Из первого  уравнения получим:

• После нахождения  прогоночных коэффициентов α  и β, используя уравнение (2), получим  решение системы.