Матрицы и определители

Министерство образования и науки Российской Федерации 
Уральский государственный экономический университет 
Центр дистанционного образования

 

Контрольная работа по математике № 5

 

Исполнитель: студент гр. ПИЭ-15 НТ

 Марьюшкин М.В.

 

Нижний Тагил

2015 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

Тема 1. Матрицы и определители.

Задание 1.1:

Вычислить определитель:

Решение:

Для вычисления определителя приведем матрицу к верхнетреугольному виду, используя элементарные преобразования над строками матрицы и свойства определителя матрицы (Определитель верхней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали).

от 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 1; от 4 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 2:

от 3 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 0.4

от 4 строки отнимаем 3 строку, умноженную на

= 1·5·(-2.4)- = 53

 

Задание 1.2:

Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку.

Решение:

Находим определитель по правилу Саррюса (Правило треугольников)

= -80

Найдем матрицу, обратную к матрице А. Для этого составляем матрицу из алгебраических дополнений элементов определителя матрицы и транспонируем ее.

A11 =-16-5=-21

A12 =0-(-10)=10

A13 =0-(-4)=4

A21 =8-9=-1

A22 =-48-(-18)=-30 
A23 =6-2=4 
A31 =-5-18=-22 
A32 =30-0=30 
A33 =12-0=12

=

Полученную матрицу делим на определитель исходной матрицы и записываем обратную матрицу:

 
Тема 2.  Системы линейных уравнений

Задание:

Решить систему уравнений тремя способами: методом обратной матрицы, методом Гаусса или методом Жордана–Гаусса.

Решение:

Составим расширенную матрицу СЛАУ:

Путем элементарных преобразований расширенную матрицу системы приведем к каноническому виду:

Отсюда следует, что

x=4,6;

y=-0,42;

z=2,19 
Тема 3. Векторная алгебра. Уравнение прямой.

Задание:

По координатам вершин треугольника ABC найти: периметр треугольника; уравнения сторон AB и BC; уравнение высоты AD; угол ABC; площадь треугольника. Сделать чертеж.

А(0; 5); В(5; 0); С(9; 3).

Решение:

Найдем стороны треугольника AB, BC, AC по формуле:

AB = 7; BC = 5; AC = 9.2

Найдем периметр P  = 21,3 (Сумма сторон треугольника)

Найдем высоту по формуле: hBC = , где p= =>

h = 7

Исходя из того, что AB = h (Сторона треугольника равна его высоте, т.е совпадает), значит угол ABC = 90o

Найдем площадь S = => S = 17.5 
Тема 4. Уравнение плоскости.

Задание:

Даны точки М1 и М2.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1 перпендикулярно вектору 

Найти отрезки, отсекаемые данной плоскостью на осях координат. Начертить эту плоскость.

М1 (–1; 4; 3);

М2 (2; 5; 1).

Решение:

Найдем координаты М1 (–1; 4; 3) М2 (2; 5; 1)

 =(x2-x1;y2-y1;z2-z1)= (3;-1;-2)

Уравнение плоскости, проходящей через т. M0 (x0;y0;z0) перпендикулярно вектору (3;-1;-2):

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

3(x+1)-1(y-4)-2(z-3)=0, т.е. =>

3x-y-2z+5 = 0

Уравнение плоскости в отрезках: =>

3x-y-2z=-5 /-5

  =>

a= ; b=5 ; c=5

 

 

Тема 5. Линии второго порядка

Задание:

Найти координаты вершин, оси, фокусы и эксцентриситет эллипса. Сделать чертеж.

4x2 + 9y2 = 36.

Решение:

Разделив на 36, приведем данное уравнение к виду:

 

Отсюда следует, что большая полуось эллипса a=3, а малая полуось b=2. При этом, большая полуось эллипса и ее фокусы расположены на оси Ox

Найдем с по формуле: , c =

Следовательно, координаты фокусов F1(;0) и F2(-;0)

Эксцентриситет 

 
Тема 6. Пределы функций.

Задание:

а) б) в)

Решение:

1)

Если максимальная степень x в числителе больше максимальной степени в знаменателе, то такой предел будет равен бесконечности.

2)

ctg5x – ограниченная функция умножается на бесконечно малое число, возведенное в квадрат, значит:

3)

 

 

Тема 7. Основы дифференцирования.

Задание:

Найти производную сложной функции.

Решение:

Согласно таблице производных сложных функций (cosu)’ = -sinu u’,

Согласно таблице производных элементарных функций (xn)’=nxn-1, а (ctgx)’ = - и (cosx)’ = -sinx, =>

 

 

Тема 8. Исследование функций.

Задание:

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1. Область определения

Функция определена на всем множестве вещественных чисел

2. Точки пересечения с ох/оу

 / x =>

D = 0, Существует одна точка пересечения с ОХ При х=6

При x=0 график функции пересекает ось OY

3. Экстремумы и интервалы монотонности

y’=( )’ = 3x2-24x+36

D = 144, значит экстремумы есть в точках x1(2;32) и x2(6;0)

4. Выпуклости/Т. Перегиба

y’’ = 6(-4+x)=0, x=4.

5. Наклонные/горизонтальные асимптоты

, Значит, асимптоты  слева не существует

, Значит, асимптоты  справа не существует  
Список литературы.

1. Петрова С.Н., Коржавина Н.В. Математика. Учебно-методический комплекс Уральский государственный экономический университет, 2008.