Математика как универсальный язык науки

Позднее были открыты  другие неевклидовы геометрии (ведь можно менять не только десятую аксиому). Существование нескольких альтернативных геометрий само по себе явилось для  математиков сильнейшим потрясением, но еще большее недоумение охватило их, когда они осознали, что невозможно с абсолютной уверенностью отрицать применимость неевклидовой геометрии  к физическому пространству. Вопрос о том, что же нам достоверно известно о физическом пространстве, впервые  был поставлен Риманом (1868г.). Тогда  же он высказал революционную гипотезу о том, что свойства пространства (например, его кривизна) могут меняться от точки к точке. Риману не удалось  развить эту гипотезу, но ее подхватил  Клиффорд, который предположил, что  некоторые физические явления обусловлены  изменениями кривизны пространства, что кривизна пространства меняется не только от точки к точке, но и  со временем (вследствие движения материи). Клиффорд уподобил вселенную поверхности  в среднем плоской, но с небольшими неровностями. Он предположил также, что гравитационные эффекты обусловлены  кривизной пространства. Заметки  Гаусса (1855) и работа Римана (1868) убедили  некоторых математиков в том, что неевклидова геометрия вполне может отражать реальность. Постепенно неевклидова геометрия и вытекающее из нее следствие относительно физической истинности этой геометрии были признаны всеми математиками, но отнюдь не потому, что ее применимость была подтверждена какими-либо новыми данными. Настоящую  причину признаний такого рода указал Макс Планк: “Обычно новые истины побеждают не так, что их противников  убеждают и они признают свою неправоту, а большей частью так, что противники эти постепенно вымирают, а подрастающее поколение усваивает истину сразу”. Как уже было написано, Ньютон предложил  закон всемирного тяготения и  показал, что один и тот же количественный закон охватывает все земные и  небесные проявления гравитационного  взаимодействия, однако физическая природа  гравитации оставалась непонятной. Физики обходили еще одну проблему, появившуюся  с введением силы тяготения. Каждый физический объект обладает двумя физическими  свойствами: весом и массой. Масса  характеризует сопротивление, оказываемое  телом любому изменению в скорости как по величине, так и по направлению. Вес - это сила, с которой земля притягивает тело. Хотя на Луне и на Земле масса тела одинакова, вес тела на Луне в 5 раз меньше веса этого же тела на Земле, а в открытом космосе вообще наблюдается невесомость. Хотя эти свойства материи - вес и масса - различны, отношение веса к массе в данной точке всегда одно и то же. Однако до Эйнштейна объяснить это никому не удавалось.

По словам Гете, величайшее искусство как в теории, так и в практической жизни  состоит в том, чтобы превратить проблему в постулат. Так и поступил Эйнштейн в 1905г., предложив свою специальную  теорию относительности. Одно из принципиально  новых положений специальной  теории относительности - концепция локальной длины и локального времени. Их необычность не должна скрывать от нас то, что они гораздо лучше согласуются с экспериментом, чем ньютоновские понятия абсолютного пространства и времени. Другое важное следствие из постулатов теории относительности касается массы движущегося тела; оно гласит, что масса любого объекта увеличивается с увеличением скорости. Физически это увеличение сводится к энергии тела. Таким образом Эйнштейн сформулировал еще один принцип: “Масса и энергия сходны по существу - это только различные выражения одного и того же. Масса тела не постоянна; она меняется вместе с его энергией”. Наконец, в 1915 году Эйнштейн опубликовал работы по общей теории относительности, где он описал пространство-время как единое геометрическое пространство. Любая масса “искажает”, или “деформирует”, вокруг себя область пространства-времени так, что все движущиеся в этой области объекты следуют по одним и тем же искривленным траекториям (геодезическим). На языке классической физики можно сказать, что эти объекты движутся ускоренно, так как на них действует некоторая сила - тяготение. Но в общей теории относительности ускорение обусловлено самими свойствами пространства-времени. Другими словами, то, что Исаак Ньютон считал силой, Альберт Эйнштейн определил как геометрическое искривление пространства.

Как мы видим, Эйнштейн начинает новую эру в физике, пользуясь  чисто математическими гипотезами и методами. После открытия Эйнштейном сверхматематизированной теории относительности  очень много областей физики превратились, фактически, в разделы математики. В XX веке физика в очень большой  степени развивается подобно  математике.

Характер использования  математики в естествознании претерпевает заметную эволюцию. Исследователи отмечают, в частности, следующие особенности.

В классический период математический аппарат создавался одновременно с построением физической теории, сейчас положение иное. Обычно физик использует теперь уже готовые  математические структуры, разработанные  внутри математики (например, риманова геометрия - в общей теории относительности, теория линейных операторов в гильбертовом пространстве - в квантовой механике). В классический период физические величины отождествлялись с математическими и сразу же получали ясный операционально-измерительный смысл. Теперь же требуется интерпретация, которая находится не сразу. Наконец, налицо отличие и в процедурах разработки математических программ развития новых физических теорий. Ранее была фактически всегда одна программа, ибо математика обслуживала физику, ныне математика способна предложить ряд вариантов, вообще, способна направлять физическое исследование.

Математически (и логически) возможный мир - это мир, который описывается без логического противоречия. Им может быть вымышленный, фантастический мир или даже мир сказки, но важно одно: его описание не должно противоречить себе. Ситуации, запрещенные физически, вполне могут быть предметом математического обсуждения. Таким образом, если физика, как и другие естественные науки, ставит вопрос, каков мир, то математика задается целью знать, каким бы он мог быть во всей бесконечности возможных вариантов. Физик решает проблему, является ли геометрия нашей Вселенной действительно евклидовой, с точки же зрения математика возможны и другие геометрии. С этой позиции теория Лобачевского - не результат решения практической задачи, а плод усилий выявить логически возможные варианты геометрических систем, проникнуть в структуру окружающего геометрического пространства. Чтобы прийти к открытию, Лобачевский должен был опираться не на существующие (физические) а только на логически возможные отклонения от геометрии.

Выступая, по выражению  Г.Вейля, “теоретическим изображением бытия на фоне возможного”, математика несет естествознанию глубокие эвристические  стимулы. То, что ныне считается физически  невозможным (противоречит знанию), может  оказаться завтра реальным в свете  новых научных открытий. Сила математики заключена в том, что она уже  сейчас допускает существование  запрещенных, но не противоречивых логически  ситуаций. Тем самым она оказывается  источником и вместилищем новых  представлений в естествознании, побуждая ум исследователя к поискам  неизвестных, но прогнозируемых математикой  явлений.

По-видимому, можно  говорить о трех линиях, по которым  осуществляется процесс математизации  естествознания:

1. Использование конкретными науками математики в качестве аппарата вычислений.
2. Применение методов исследования, выработанных математикой (математическое моделирование, математическая гипотеза и др.)
3. Влияние математики как источника новых идей и концепций.

4.Литература

Основные  источники:

1. Гнеденко Б.В. Введение в специальность математика, М.: Наука, 1991.
2. Клайн М. Математика. Поиск истины, М.: Мир, 1988.
3. Сухотин А.К. Философия в математическом познании, Томск: Издательство томского университета, 1977.

Другие  источники:

4. Бурбаки Н. Очерки по истории математики, М.: ИЛ, 1963.
5. Вейль Г. Математическое мышление, М.: Наука, 1989.
6. Клайн М. Математика: Утрата определенности, М.: Мир, 1984.
7. Курант Р. Математика в современном мире. - В сб.: Математика в современном мире. М.: Мир, 1967.
8. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук, М.: Наука, 1948.
9. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т.2. Работы по теории относительности 1921- 1925гг, М.: Наука, 1966.