Математическое программирование

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 08 Июля 2011 в 08:18, доклад

Описание работы

симплекс-метод

Файлы: 1 файл

математическое программирование.DOC

— 398.50 Кб (Скачать файл)

Математическое программирование 

  1. Общая задача линейного программирования (ЗЛП):

Здесь (1)  называется системой ограничений , ее матрица имеет ранг r Ј n, (2) - функцией цели (целевой функцией). Неотрицательное решение (х10, x20, ... , xn0) системы (1) называется допустимым решением (планом) ЗЛП. Допустимое решение называется оптимальным, если оно обращает целевую функцию (2) в min или max (оптимум). 

  1. Симплексная форма ЗЛП. Для решения ЗЛП симплекс - методом необходимо ее привести к определенной (симплексной) форме:
 

    (2`)    f+cr+1xr+1 + ... + csxs + ... + cnxn = b0 ® min 

Здесь считаем r < n (система имеет бесчисленное множество решений), случай r = n неинтересен: в этом случае система имеет единственное решение и если оно допустимое, то автоматически становится оптимальным.

В системе (1`) неизвестные   х1, х2, ... , хr   называются базисными (каждое из них входит в одно и только одно уравнение с коэффициентом +1), остальные хr+1, ... , xn - свободными. Допустимое решение (1`) называется базисным (опорным планом), если все свободные неизвестные равны 0, а соответствующее ему значение целевой функции  f(x10, ... , xr0,0, ... ,0) называется базисным.

В силу важности особенностей симплексной формы выразим их и словами:

а) система (1`) удовлетворяет условиям :

  1. все ограничения - в виде уравнений;
  2. все свободные члены неотрицательны, т.е. bi і 0;
  3. имеет базисные неизвестные;

б) целевая функция (2`) удовлетворяет условиям :

  1. содержит только свободные неизвестные;
  2. все члены перенесены влево, кроме свободного члена b0;
  3. обязательна минимизация (случай  max  сводится к  min  по формуле   max f = - min(-f)).
 
  1. Матричная форма симплекс-метода. Симплексной форме ЗЛП соответствует симплекс - матрица :
 

1     0 ... 0 ... 0     a1,r+1 ... a1s ... a1n     b1

0     1 ... 0 ... 0     a2,r+1 ... a2s ... a2n     b2

.................................................................

0     0 ... 1 ... 0     ai,r+1 ... ais ... ain       bi

.................................................................

0     0 ... 0 ... 1     ar,r+1 ... ars ... arn       br 

0     0 ... 0 ... 0     cr+1   ... c ... cn        b0  

Заметим,   что каждому базису (системе базисных неизвестных ) соответствует   своя   симплекс - матрица , базисное   решение         х = (b1,b2, ... ,br, 0, ... ,0) и базисное значение целевой функции   f(b1,b2, ... ,br, 0, ... ,0) = b0  (см. Последний столбец !). 

Критерий оптимальности плана . Если в последней (целевой) строке симплекс-матрицы все элементы неположительны, без учета последнего b0, то соответствующий этой матрице план оптимален,

т.е.     сj Ј 0 (j = r+1, n) => min f (b1, ... ,b2,0, ... ,0) = b0.

Критерий отсутствия оптимальности. Если в симплекс-матрице имеется столбец (S-й), в котором последний элемент сs > 0, a все остальные элементы неположительны, то ЗЛП не имеет оптимального плана, т.е. сs > 0, ais Ј 0 ( i= 1,r ) => min f = -Ґ.

Если в симплекс-матрице не выполняются оба критерия, то в поисках оптимума надо переходить к следующей матрице с помощью некоторого элемента ais > 0 и следующих преобразований (симплексных):

  1. все элементы i-й строки делим на элемент a+is;
  2. все элементы  S-го столбца, кроме ais=1, заменяем нулями;
  3. все остальные элементы матрицы преобразуем по правилу прямоугольника, что схематично показано на фрагменте матрицы и дано в формулах:
 

akl` = akbais - ailaks  = akl - ailaks;

                  ais                        ais 

bk` = bkais - biaks;              cl` = clais - csail

                ais                                           ais 
 

Определение.  Элемент  ais+ называется разрешающим, если преобразование матрицы с его помощью обеспечивает уменьшение (невозрастание) значения, целевой функции; строка и столбец, на пересечении которых находится разрешающий элемент, также называются разрешающими.

Критерий выбора разрешающего элемента.  Если элемент ais+ удовлетворяет условию 

b = min  bk

ais0                        aks0+ 

где s0 - номер выбранного разрешающего столбца, то он является разрешающим. 

  1. Алгоритм симплекс-метода (по минимизации).
  2. систему ограничений и целевую функцию ЗЛП приводим к симплексной форме;
  3. составим симплекс-матрицу из коэффициентов системы и целевой функции в симплексной форме;
  4. проверка матрицы на выполнение критерия оптимальности; если он выполняется, то решение закончено;
  5. при невыполнении критерия оптимальности проверяем выполнение критерия отсутствия оптимальности; в случае выполнения последнего решение закончено - нет оптимального плана;
  6. в случае невыполнения обоих критериев находим разрешающий элемент для перехода к следующей матрице, для чего :

    а) выбираем разрешающий столбец по наибольшему из положи                                                         тельных элементов целевой строки;

    б) выбираем разрешающую строку по критерию выбора разрешающего элемента; на их пересечении находится разрешающий элемент;

  1. c помощью разрешающего элемента и симплекс-преобразований переходим к следующей матрице;
  2. вновь полученную симплекс-матрицу проверяем описанным выше способом (см. п. 3)
 

Через конечное число шагов, как правило получаем оптимальный план ЗЛП или его отсутствие 

Замечания.

  1. Если в разрешающей строке (столбце) имеется нуль, то в соответствующем ему столбце (строке) элементы остаются без изменения при симплекс-преобразованиях.
  2. преобразования - вычисления удобно начинать с целевой строки; если при этом окажется, что выполняется критерий оптимальности, то можно ограничиться вычислением элементов последнего столбца.
  3. при переходе от одной матрицы к другой свободные члены уравнений остаются неотрицательными; появление отрицатель 
    ного члена сигнализирует о допущенной ошибке в предыдущих вычислениях.
  4. правильность полученного ответа - оптимального плана - проверяется путем подстановки значений базисных неизвестных в целевую функцию; ответы должны совпасть.
 

5.  Геометрическая интерпретация ЗЛП и графический метод решения (при двух неизвестных) 

Система ограничений ЗЛП геометрически представляет собой многоугольник или многоугольную область как пересечение полуплоскостей - геометрических образов неравенств системы. Целевая функция f = c1x1 + c2x2 геометрически изображает семейство параллельных прямых, перпендикулярных вектору n12).

Теорема.    При перемещении прямой целевой функции направлении вектора n значения целевой функции возрастают, в противоположном направлении - убывают.

На этих утверждениях основан графический метод решения ЗЛП. 
 

  1. Алгоритм графического метода решения ЗЛП.
  2. В системе координат построить прямые по уравнениям, соответствующим каждому неравенству системы ограничений;
  3. найти полуплоскости решения каждого неравенства системы (обозначить стрелками);
  4. найти многоугольник (многоугольную область) решений системы ограничений как пересечение полуплоскостей;
  5. построить вектор n12) по коэффициентам целевой функции  f = c1x1 + c2x2;
  6. в семействе параллельных прямых целевой функции выделить одну, например, через начало координат;
  7. перемещать прямую целевой функции параллельно самой себе по области решения, достигая max f при движении вектора n и min f при движении в противоположном направлении.
  8. найти координаты точек max и min по чертежу и вычислить значения функции в этих точках (ответы).
 
 
  1. Постановка транспортной задачи.

Приведем экономическую формулировку транспортной задачи по критерию стоимости:

Информация о работе Математическое программирование