Математическое программирование

Математическое программирование 

1. Общая задача линейного программирования (ЗЛП):

Здесь (1)  называется системой ограничений , ее матрица имеет ранг r Ј n, (2) - функцией цели (целевой функцией). Неотрицательное решение (х₁⁰, x₂⁰, ... , x_n⁰) системы (1) называется допустимым решением (планом) ЗЛП. Допустимое решение называется оптимальным, если оно обращает целевую функцию (2) в min или max (оптимум). 

2. Симплексная форма ЗЛП. Для решения ЗЛП симплекс - методом необходимо ее привести к определенной (симплексной) форме:

 

(2`)    f+c_r+1x_r+1 + ... + c_sx_s + ... + c_nx_n = b₀ ® min 

Здесь считаем r < n (система имеет бесчисленное множество решений), случай r = n неинтересен: в этом случае система имеет единственное решение и если оно допустимое, то автоматически становится оптимальным.

В системе (1`) неизвестные   х<sub>1</sub>, х<sub>2</sub>, ... , х<sub>r</sub>   называются базисными (каждое из них входит в одно и только одно уравнение с коэффициентом +1), остальные х<sub>r+1</sub>, ... , x<sub>n</sub> - свободными. Допустимое решение (1`) называется базисным (опорным планом), если все свободные неизвестные равны 0, а соответствующее ему значение целевой функции  f(x₁⁰, ... , x_r⁰,0, ... ,0) называется базисным.

В силу важности особенностей симплексной формы выразим их и словами:

а) система (1`) удовлетворяет условиям :

1. все ограничения - в виде уравнений;
2. все свободные члены неотрицательны, т.е. b_i і 0;
3. имеет базисные неизвестные;

б) целевая функция (2`) удовлетворяет условиям :

1. содержит только свободные неизвестные;
2. все члены перенесены влево, кроме свободного члена b₀;
3. обязательна минимизация (случай  max  сводится к  min  по формуле   max f = - min(-f)).

 

3. Матричная форма симплекс-метода. Симплексной форме ЗЛП соответствует симплекс - матрица :

 

1     0 ... 0 ... 0     a_1,r+1 ... a_1s ... a_1n     b₁

0     1 ... 0 ... 0     a_2,r+1 ... a_2s ... a_2n     b₂

.................................................................

0     0 ... 1 ... 0     a_i,r+1 ... a_is ... a_in       b_i

.................................................................

0     0 ... 0 ... 1     a_r,r+1 ... a_rs ... a_rn       b_r 

0     0 ... 0 ... 0     c_r+1   ... c_s  ... c_n        b₀  

Заметим,   что каждому базису (системе базисных неизвестных ) соответствует   своя   симплекс - матрица , базисное   решение         х = (b₁,b₂, ... ,b_r, 0, ... ,0) и базисное значение целевой функции   f(b₁,b₂, ... ,b_r, 0, ... ,0) = b₀  (см. Последний столбец !). 

Критерий оптимальности плана . Если в последней (целевой) строке симплекс-матрицы все элементы неположительны, без учета последнего b₀, то соответствующий этой матрице план оптимален,

т.е.     с_j Ј 0 (j = r+1, n) => min f (b₁, ... ,b₂,0, ... ,0) = b₀.

Критерий отсутствия оптимальности. Если в симплекс-матрице имеется столбец (S-й), в котором последний элемент с_s > 0, a все остальные элементы неположительны, то ЗЛП не имеет оптимального плана, т.е. с_s > 0, a_is Ј 0 ( i= 1,r ) => min f = -Ґ.

Если в симплекс-матрице не выполняются оба критерия, то в поисках оптимума надо переходить к следующей матрице с помощью некоторого элемента a_is > 0 и следующих преобразований (симплексных):

1. все элементы i-й строки делим на элемент a⁺_is;
2. все элементы  S-го столбца, кроме a_is=1, заменяем нулями;
3. все остальные элементы матрицы преобразуем по правилу прямоугольника, что схематично показано на фрагменте матрицы и дано в формулах:

 

a_kl` = a_kba_is - a_ila_ks  = a_kl - a_ila_ks;

                  a_is                        a_is 

b_k` = b<sub>k</sub>a<sub>is</sub> - b<sub>i</sub>a<sub>ks</sub>;              c<sub>l</sub>` = c_la_is - c_sa_il

                a_is                                           a_is 
 

Определение.  Элемент  a_is⁺ называется разрешающим, если преобразование матрицы с его помощью обеспечивает уменьшение (невозрастание) значения, целевой функции; строка и столбец, на пересечении которых находится разрешающий элемент, также называются разрешающими.

Критерий выбора разрешающего элемента.  Если элемент a_is⁺ удовлетворяет условию 

b_i  = min  b_k

a_is0                        a_ks0⁺ 

где s₀ - номер выбранного разрешающего столбца, то он является разрешающим. 

4. Алгоритм симплекс-метода (по минимизации).
5. систему ограничений и целевую функцию ЗЛП приводим к симплексной форме;
6. составим симплекс-матрицу из коэффициентов системы и целевой функции в симплексной форме;
7. проверка матрицы на выполнение критерия оптимальности; если он выполняется, то решение закончено;
8. при невыполнении критерия оптимальности проверяем выполнение критерия отсутствия оптимальности; в случае выполнения последнего решение закончено - нет оптимального плана;
9. в случае невыполнения обоих критериев находим разрешающий элемент для перехода к следующей матрице, для чего :

    а) выбираем разрешающий столбец по наибольшему из положи                                                         тельных элементов целевой строки;

    б) выбираем разрешающую строку по критерию выбора разрешающего элемента; на их пересечении находится разрешающий элемент;

6. c помощью разрешающего элемента и симплекс-преобразований переходим к следующей матрице;
7. вновь полученную симплекс-матрицу проверяем описанным выше способом (см. п. 3)

 

Через конечное число шагов, как правило получаем оптимальный план ЗЛП или его отсутствие 

Замечания.

1. Если в разрешающей строке (столбце) имеется нуль, то в соответствующем ему столбце (строке) элементы остаются без изменения при симплекс-преобразованиях.
2. преобразования - вычисления удобно начинать с целевой строки; если при этом окажется, что выполняется критерий оптимальности, то можно ограничиться вычислением элементов последнего столбца.
3. при переходе от одной матрицы к другой свободные члены уравнений остаются неотрицательными; появление отрицатель 
   ного члена сигнализирует о допущенной ошибке в предыдущих вычислениях.
4. правильность полученного ответа - оптимального плана - проверяется путем подстановки значений базисных неизвестных в целевую функцию; ответы должны совпасть.

 

5.  Геометрическая интерпретация ЗЛП и графический метод решения (при двух неизвестных) 

Система ограничений ЗЛП геометрически представляет собой многоугольник или многоугольную область как пересечение полуплоскостей - геометрических образов неравенств системы. Целевая функция f = c₁x₁ + c₂x₂ геометрически изображает семейство параллельных прямых, перпендикулярных вектору n (с₁,с₂).

Теорема.    При перемещении прямой целевой функции направлении вектора n значения целевой функции возрастают, в противоположном направлении - убывают.

На этих утверждениях основан графический метод решения ЗЛП. 
 

6. Алгоритм графического метода решения ЗЛП.
7. В системе координат построить прямые по уравнениям, соответствующим каждому неравенству системы ограничений;
8. найти полуплоскости решения каждого неравенства системы (обозначить стрелками);
9. найти многоугольник (многоугольную область) решений системы ограничений как пересечение полуплоскостей;
10. построить вектор n (с₁,с₂) по коэффициентам целевой функции  f = c₁x₁ + c₂x₂;
11. в семействе параллельных прямых целевой функции выделить одну, например, через начало координат;
12. перемещать прямую целевой функции параллельно самой себе по области решения, достигая max f при движении вектора n и min f при движении в противоположном направлении.
13. найти координаты точек max и min по чертежу и вычислить значения функции в этих точках (ответы).

 
 

14. Постановка транспортной задачи.

Приведем экономическую формулировку транспортной задачи по критерию стоимости: