Математические методы оптимизации ресурсов

Введение.

Переход к рыночной экономике неотъемлем от процессов планирования,

регулирования, управления и прогнозирования  производственных и

технологических процессов. В этой связи актуальны разработка и применение

экономико-математических методов и моделей для решения  возникающих

производственно-хозяйственных  задач, определения и выбора

вариантов экономического развития на перспективу, обеспечения оптимального

распределения ресурсов для выполнения отдельных  комплексов

работ и т.п. Определение оптимального варианта текущего и перспективного

развития  часто связано с решением динамических задач оптимизации,

имеющих большую размерность и множество  разнообразных условий

и ограничений (например, цело-численности  переменных, сочетающейся с

требованием их не убывания во времени), что обусловливает  сложность

решения из-за существенно многоэкстремального  характера. Рассмотрим

основные  экономико-математические методы оптимизации.

 

1. Разновидности экономико-математических моделей

и методов.

     Все множество наук сегодня широко включает в себя как необходимые

инструментальные  средства математические модели и методы,

позволяющие осуществлять более высокий уровень  формализации

и абстрактного описания наиболее важных, существенных

связей  технико-экономических переменных систем и

объектов, оценивать форму и параметры  зависимостей их переменных;

получать  новые знания об объектах; определять наилучшие

решения в той или иной ситуации; формулировать  выводы,

адекватные  изучаемому объекту; компактно излагать основные

теоретические положения.

Любое технико-экономическое исследование всегда предполагает

объединение теории (математической модели) с практикой

(экспериментом  и статистическими данными). В  качестве примера

экономических моделей можно назвать модели: экономического

роста, равновесия на товарных и финансовых рынках, ценообразования

и конкурентного  равновесия, социального и экономического

оптимума, потребительского выбора и др

Формализация  основных особенностей функционирования техно-социо-экономических объектов позволяет оценивать качество

и эффективность  принимаемых решений по степени  использования

и оптимизации  ресурсов, прогнозировать их возможные

негативные  последствия, использовать полученные оценки в

управлении.

     Математическая  модель объекта — это его гомоморфное

отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических

отношений, графиков, условный образ объекта, созданный

для упрощения  его исследования, получения о  нем новых знаний, анализа и  оценки принимаемых решений в  конкретных

или возможных  ситуациях.

Математические  модели, используемые, например, в экономике,

можно подразделить: по особенностям моделируемого объекта

— на макро- и микроэкономические; по целям моделирования

и используемому  инструментарию — на теоретические и прикладные,

оптимизационные и равновесные, статические и  динамические,

непрерывные и стохастические.

Макроэкономические  модели обычно описывают экономику

страны  как единое целое, связывая между  собой укрупненные

материальные  и финансовые показатели: ВВП, потребление, инвестиции,

занятость, бюджет, инфляцию, ценообразование  и др.

Микроэкономические  модели описывают взаимодействие

структурных и функциональных составляющих экономики  либо

их автономное поведение в переходной неустойчивой или стабильной

рыночной  среде, стратегии поведения фирм в условиях

олигополии  с использованием методов оптимизации  и теории

иф и  т. п.

Теоретические модели отображают общие свойства экономики и

ее компонентов  с дедукцией выводов из формальных предпосылок.

Прикладные  модели обеспечивают возможность оценки параметров

функционирования  конкретных технико-экономических  объектов

и обоснования  выводов для принятия управленческих решений

(к их  числу относятся прежде всего  эконометрические модели,

позволяющие статистически значимо оценивать  числовые значения

экономических переменных на основе имеющихся наблюдений).

Равновесные модели, присущие рыночной экономике,

описывающие поведение субъектов хозяйствования как в

стабильных  устойчивых состояниях, так и в  условиях нерыночной

экономики, где неравновесие по одним параметрам компенсируется

другими факторами. Оптимизационные модели связаны

в основном с микроуровнем (оптимизация и  распределение

ресурсов, максимизация полезности потребителем или прибыли

предприятием), на макроуровне результатом рационального

выбора  поведения становится некоторое  состояние равновесия.

Статические модели описывают состояние экономического

объекта в конкретный текущий момент или  период времени;

динамические  модели, напротив, включают взаимосвязи переменных

во времени, описывая силы и взаимодействия процессов

в экономике.

Детерминированные модели предполагают жесткие функциональные

связи между переменными модели, а стохастические

модели  допускают наличие случайных  воздействий на исследуемые

показатели, используя в качестве инструментария методы

теории  вероятностей и математической статистики.

В экономической  науке выделяют следующие основные направления:

• математическую экономику, занимающуюся анализом

свойств и решений математических моделей  технико-

экономических процессов и исследующую теоретические

модели, основанные на определенных предпосылках —

линейность, монотонность, выпуклость и др., а  также на

конкретных  формулах взаимосвязи величин;

• эконометрику, занимающуюся статистической оценкой и

анализом  экономических зависимостей и моделей  на основе

изучения  эмпирических данных.

Математическая  экономика изучает вопросы, связанные  с

существованием  решения модели в условиях его  неотрицательности,

стационарности, наличия других дополнительных

свойств. К ее основным классам моделей  относятся: модели равновесия

в экономических  системах (модели Эрроу—Дебре,

«затраты  —выпуск» В. Леонтьева и др.) и  модели экономического

роста (модели Солоу, Харрода—Домара, Гейла, Моришимы и

др., модели магистрального типа).

Основой эконометрики являются методы корреляционно-

регрессионного  анализа, математической статистики, дисперсионного

анализа.

 

2.Математические модели оптимизации

ресурсов  и принятия решений

Для рещения  самых разнообразных задач оптимизации  необходимо

иметь соответствующую математическую модель. В большинстве

ситуаций  самые различные по содержанию задачи оказываются

частными  случаями одной задачи оптимизации.

2.1. Общий  случай математической постановки  задачи

оптимизации

Если  не рассматривать детально составление  математической

модели  на конкретных примерах, как это  делается в большинстве

посвященных этой проблеме работ, например [16, 54, 82,

125—130], а Перейти к общему случаю, то задача оптимизации в

общем случае, включающая три компоненты (целевую функцию

F, ограничения gf и граничные условия), имеет следующую математическую

постановку:

(2.1)

где fly и bj —нижнее и верхнее предельно допустимые значения Xj.

Задачу (2.1) можно представить в еще  более общей компактной

форме записи:

(2.2) 
 

Граничные условия показывают предельно допустимые значения

искомых переменных, и в общем случае они  могут бьггь

двусторонними типа aj < xj <, bj. Вместе с тем на практике достаточно

часто возникают следующие частные  случаи:

1) в  технических, экономических и  других видах расчетов искомые

величины  обычно являются положительными или  равными

нулю. В  этом случае в задаче (2.2) принимается  оу = О, Лу = « и накладывается

только  требование неотрицательности Xj>0;

2) в  ряде случаев значение величины  xj может задаваться. Если

принять, что должно выполняться требование Xj = х?, где х/

— заданное значение, то граничные условия в  задаче (2.2) можно

записать  следующим образом:

Ограничения обычно выражают определенные зависимости

между переменными величинами, которые  по своей сути могут

быть  теоретическими (формульными) и статистическими. Теоретические