Математические игры и головоломки

      Ниже  приведён список самых распространённых “минимальных” операций, которыми пользуются при собирании кубика Рубика. Следует заметить, что это  лишь универсальные комбинации, а  для создания более совершенного алгоритма собирания кубика, нужно разработать более “глобальные” операции, которые человеку запомнить довольно трудно, но в общем уменьшающие количество действий, необходимых для собирания кубика из каждого конкретного положения. 

Первый  слой 

Операция “лесенка” (лифт) 1: 

Н’П’НП 
 

Операция “лесенка” (лифт) 2: 

НЛН’Л’ 

Сложная лесенка: 

Н’П’Н²П 
 

Второй  слой 

Две лесенки 1: 

НЛН’Л’Н’Ф’НФ 
 

Две лесенки 2: 

Н’П’НПНФН’Ф’ 
 

Третий  слой

Выполняются только по две комбинации с поворотом  верхней грани между ними: 

(ПСн)⁴

Операция  “Обмен” 1:

Ф²В’СпВ²СлВ’Ф²

Операция “Обмен” 2: 

Л’Т’П’ТЛТ’ПТ 
 
 
 

(Ф’ПФП’)² 

Две последние  операции выполняются лишь парами, либо по отдельности, но по два раза подряд с возможным поворотом  верхней грани между комбинациями 

(ПФ’П’Ф)² 
 

  “Игры с дыркой” 

      До  изобретения кубика Рубика для многих людей знакомство с головоломками  начиналось с “пятнашек” – так  часто называют известную игру “15”.

      С пятнашек начинается история игр  с дыркой – головоломок, в которых  фишки перемещаются по игровому полю за счёт того, что одно из мест на поле свободно. У “пятнашек” есть множество  родственников, которые как раз  и образовывают целый раздел этих головоломок.

      Игру  “15” придумал в 70-х годах XIX-го века прославленный американский изобретатель головоломок Сэмюэль Лойд. Время появления его игрушки и известного всем кубика Рубика разделяют ровно сто лет. Любопытно, что возраст обоих изобретателей, когда они придумали свои знаменитые головоломки, был одинаков – немногим больше тридцати. До “пятнашек” никакая другая головоломка таким успехом не пользовалась.

      Великий Марк Твен, будучи современником Лойда  и свидетелем всеобщего ажиотажа вокруг игры “15”, включил в свою сатирическую повесть “Американский  претендент” изложение сообщения, якобы переданного агентством “Ассошиэйтед пресс”, в котором говорилось, что  “за последние несколько недель вошла в моду новая игрушка-головоломка... и что от Атлантического океана до Тихого все население Соединенных  Штатов прекратило работу и занимается только этой игрушкой; что в связи  с этим вся деловая жизнь в  стране замерла, ибо судьи, адвокаты, взломщики, священники, воры, торговцы, рабочие, убийцы, женщины, дети, грудные  младенцы,— словом, все с утра до ночи заняты одним-единственным высокоинтеллектуальным и сложным делом... что веселье  и радость покинули народ,— на смену им пришли озабоченность, задумчивость, тревога, лица у всех вытянулись, на них появились отчаяние и морщины  — следы прожитых лет и пережитых  трудностей, а вместе с ними и  более печальные признаки, указывающие  на умственную неполноценность и  начинающееся помешательство; что в восьми городах день и ночь работают фабрики, и все же до сих пор не удалось удовлетворить спрос на головоломку”.

      Вскоре  после своего появления на свет коробочка  с цифрами 15 на крышке пересекла  океан, быстро распространилась во всех европейских странах и поучила  новое имя “такен”. Изобретателю посчастливилось найти ту неуловимую меру сложности, когда головоломка  решалась без труда почти всеми  и в то же время требовала определённой сообразительности, благодаря чему каждый мог получить удовольствие от сознания своего высокого интеллектуального  уровня.

 Первому успеху головоломки в немалой  степени способствовало и напечатанное в газетах объявление о призе  в 1000$ за решение следующей задачи: в исходной позиции фишки располагаются по порядку номеров, за исключением двух последних, которые переставлены местами друг с другом (рис. 4); передвигая по одной фишке, но не вынимая фишки из коробочки, нужно поменять местами номера 15 и 14 так, чтобы все фишки стояли по порядку номеров, а правый нижний угол был свободен.

      Помещая это объявление, Лойд знал, что ничем  не рискует, так как предлагает неразрешимую задачу. Эта задача ещё сыграла  с изобретателем злую шутку, когда  он пытался запатентовать свою игру, – ему сказали, что нельзя запатентовать  игру, не имеющую решения.

Секрет  игры “15” 

      Не  всегда можно головоломку перевести  из одного состояния в другое, — запрещены такие переходы, при которых нарушаются те или другие законы сохранения. Есть такой закон и в игре “15”. Чтобы объяснить его, мысленно заполним пустое место фишкой с номером 16. Тогда каждый ход — сдвиг фишки — будет состоять в том, что эта фишка меняется местами с фишкой 16. Операцию, при которой какие-то две фишки (не обязательно соседние!) меняются местами, так и назовем — обменом; математический термин для таких операций — транспозиция. Очевидно, что из любой расстановки 16 фишек можно не более чем за 15 обменов получить правильную позицию — обозначим ее S₀ — и вообще любую другую расстановку. При этих обменах не запрещается вынимать фишки из коробки. Например, можно сначала поставить на свое место фишку 1, обменяв ее с той фишкой, которая это место занимает, затем точно так же поставить на место фишку 2 и т. д. Последними мы обменяем фишки 15 и 16 — при этом сразу обе встанут правильно. Конечно, не исключено, что по ходу дела какие-то фишки автоматически попадут на свои места, и их трогать не придется, при этом число обменов окажется меньше 15. Можно расставлять фишки по этой же системе, но в другом порядке, скажем 16, 15, 14, .... или совсем иначе, и тогда число обменов может оказаться другим. Однако, каким бы способом ни выбрать последовательность обменов, превращающую одну заданную расстановку фишек в другую, четность числа обменов в этой последовательности всегда будет одной и той же.

      Это очень важное и неочевидное докажем  ниже. Оно позволяет дать следующее  определение: расстановка называется четной, если ее можно превратить в правильную позицию с помощью четного числа обменов, и нечетной в противном случае. В математике обычно говорят не “расстановка”, а “перестановка”; к этому мы еще вернемся. Сама правильная расстановка S₀ всегда четная, а ловушка Лойда L нечетная. Но почему они не переводятся друг в друга?

      Как выше уже сказано, каждый ход в  игре “15” можно рассматривать  как обмен фишки с одной  из соседних. Следовательно, при каждом ходе четность расстановки 16 фишек  меняется: если до хода расстановку  можно было упорядочить за N обменов, то после него — за N+1 обменов (взяв этот ход назад), а числа N и N+1 — разной четности. В обеих расстановках классической задачи Лойда дырка (или фишка 16) расположена одинаково. Если бы мы сумели одну расстановку перевести в другую, то фишка 16 должна была совершить столько же ходов вверх, сколько вниз, и столько же ходов вправо, сколько влево, иначе она не вернулась бы назад. Поэтому мы сделали бы четное число ходов, а так как при каждом ходе четность расстановки меняется, в начале и в конце она была бы одинаковой. Но позиции S₀ и L, как мы видели, имеют разную четность.

      Мы  рассмотрели  лишь малую часть  замечательных головоломок, которые  придумали математики разных времён, но если когда-нибудь ещё и изобретут  головоломку более популярную, чем, например, игра “15”, то известней знаменитого  кубика Рубика наверняка – нет! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Список литературы 

1. Я. И. Перельман “Занимательная математика”
2. Мартин Гарднер “Путешествие во времени”. – Москва, “Мир”, 1990
3. У. Болл, Г. Коксетер “Математические эссе и развлечения”. – Москва, “Мир”, 1986
4. В. Н. Дубровский, А. Т. Калинин “Математические головоломки”. – Москва, “Знание”,  1990
5. “Математический цветник” (составитель и редактор Д. А. Кларнер). – Москва, “Мир”, 1983