Квадратные формы

Лекция 10. Квадратичные формы и их связь с симметричными  матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы  к каноническому виду. 

Определение 10.1. Квадратичной формой действительных переменных х1, х2,…,хn называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени. 

Примеры квадратичных форм: 

        (n = 2), 

        (n = 3).   (10.1) 

Напомним данное в прошлой лекции определение  симметрической матрицы: 

Определение 10.2. Квадратная матрица называется симметрической, если , то есть если равны элементы матрицы, симметричные относительно главной диагонали. 

     Свойства  собственных чисел и собственных  векторов симметрической матрицы: 

1)       Все собственные числа симметрической  матрицы действительные. 

Доказательство (для  n = 2). 

Пусть матрица А  имеет вид: . Составим характеристическое уравнение: 

                            (10.2)        Найдем дискриминант: 

 следовательно,  уравнение имеет только действительные  корни. 

2)       Собственные векторы симметрической  матрицы ортогональны. 

Доказательство (для  n = 2). 

Координаты собственных  векторов  и  должны удовлетворять  уравнениям: 

 Следовательно,  их можно задать так: 

. Скалярное произведение  этих векторов имеет вид: 

 По теореме  Виета из уравнения (10.2) получим,  что  Подставим эти соотношения в предыдущее равенство:  Значит, . 

Замечание. В примере, рассмотренном в лекции 9, были найдены  собственные векторы симметрической матрицы и обращено внимание на то, что они оказались попарно  ортогональными. 

 Определение 10.3. Матрицей квадратичной формы  (10.1) называется симметрическая матрица  .                                              (10.3) 

Таким образом, все  собственные числа матрицы квадратичной формы действительны, а все собственные  векторы ортогональны. Если все собственные  числа различны, то из трех нормированных  собственных векторов матрицы (10.3) можно  построить базис в трехмерном пространстве. В этом базисе квадратичная форма будет иметь особый вид, не содержащий произведений переменных. 

Приведение квадратичной формы к каноническому виду 

Определение 10.4. Каноническим видом  квадратичной формы (10.1) называется следующий вид: .                                       (10.4) 

Покажем, что в  базисе из собственных векторов квадратичная форма (10.1) примет канонический вид. Пусть  

               - нормированные собственные векторы,  соответствующие собственным числам  λ1,λ2,λ3 матрицы (10.3) в ортонормированном  базисе . Тогда матрицей перехода от старого базиса к новому будет матрица 

. В новом базисе  матрица А примет диагональный вид (9.7) (по свойству собственных векторов). Таким образом, преобразовав координаты по формулам: 

                          , 

получим в новом  базисе канонический вид квадратичной формы с коэффициентами, равными  собственным числам λ1, λ2, λ3: 

               .                                                         (10.5) 

Замечание 1. С геометрической точки зрения рассмотренное преобразование координат представляет собой поворот  координатной системы, совмещающий  старые оси координат с новыми. 

Замечание 2. Если какие-либо собственные числа матрицы (10.3) совпадают, к соответствующим им ортонормированным  собственным векторам можно добавить единичный вектор, ортогональный каждому из них, и построить таким образом базис, в котором квадратичная форма примет канонический вид. 

Пример. 

Приведем к каноническому  виду квадратичную форму 

          x² + 5y² + z² + 2xy + 6xz + 2yz. 

Ее матрица имеет  вид  В примере, рассмотренном в лекции 9, найдены собственные числа и ортонормированные собственные векторы этой матрицы: 

 Составим матрицу  перехода к базису из этих  векторов: 

(порядок векторов  изменен, чтобы они образовали  правую тройку). Преобразуем координаты  по формулам: 

                     . 

 Получим: 
 

Итак, квадратичная форма приведена к каноническому  виду с коэффициентами, равными собственным  числам матрицы квадратичной формы.  
 
 

||Оглавление||