Кривые второго порядка: эллипс, окружность, парабола, гипербола

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

 Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Южно-Уральский государственный университет.

Факультет Коммерции

Кафедра «Товароведение и экспертиза потребительских  товаров» 
 
 
 
 
 
 
 

«Кривые второго порядка: эллипс, окружность, парабола, гипербола» 

РЕФЕРАТ

По дисциплине Высшая математика. 

  
 
 
 
 

     Проверила

Пермина Александра Николаевна 
 

                                                                                                 Автор работы

                                                                                            студент группы 131

                                                                              Кравченко Ольга Владимировна 

                                                                                    Реферат защищен                                                                                                                                                                   

                                                                                                  с оценкой________________ 
 
 
 
 
 
 
 

Челябинск 2009

Кривые  второго порядка: эллипс, окружность, парабола, гипербола. 

Кривыми второго порядка  на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину. 

Если такая  плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении  получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей – гипербола, а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.

Кривая  второго порядка на плоскости в прямоугольной системе координат описывается уравнением:  

Эллипс. 

Множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ есть заданная постоянная величина, называется эллипсом.

Каноническое  уравнение эллипса.

Для любого эллипса  можно найти декартову систему  координат такую, что эллипс будет  описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

  ,где

Оно описывает  эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями  координат. Число a называют большой полуосью эллипса, а число b – его малой полуосью.

Свойства  эллипса:

• Фокальное свойство. Если F₁ и F₂ — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой (F₁X) равен углу между этой касательной и прямой (F₂X).
• Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
• Эволютой эллипса является астроида.
• Эксцентриситетом эллипса называется отношение . Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

Эллипс также  можно описать как

• фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование
• ортогональную проекцию окружность на плоскость.
• Пересечение плоскости и кругового цилиндра.

Окружность.

Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой её центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.

Каноническое  уравнение окружности.

Общее уравнение  окружности записывается как:

или

Точка  — центр окружности, R — её радиус.

Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат:

 

Свойства  окружности:

• Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
• Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой касания.
• Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
• Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
• Длину окружности с радиусом R можно вычислить по формуле C = 2πR.
• Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°.
• Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности равен 90°.
• Угол между двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими.
• Угол между пересекающимися хордами равен полусумме мер дуги лежащей в угле и дуги напротив нее.
• Угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой.
• Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
• При пересечении двух хорд произведение отрезков, на которые делится одна из них точкой пересечения, равно произведению отрезков другой.
• Произведение длин расстояний от выбранной точки до двух точек пересечения окружности и секущей проходящей через выбранную точку не зависит от выбора секущей и равно абсолютной величине степени точки относительно окружности.
• Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей и равен абсолютной величине степени точки относительно окружности.
• Окружность является простой плоской кривой второго порядка.
• Окружность является коническим сечением и частным случаем эллипса.

 

Парабола.

Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

   Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

(или  , если поменять местами оси)

где р (фокальный параметр) - расстояние от фокуса до директрисы 

Свойства  параболы:

• Парабола — кривая второго порядка.
• Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе.
• Пучок лучей параллельных оси, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. Для параболы с вершиной в начале координат (0; 0) и положительным направлением ветвей фокус находится в точке (0; 0,25).
• Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
• Парабола является антиподерой прямой.
• Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
• При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.
• Прямая пересекает параболу не более чем в двух точках. 
• Эксцентриситет параболы е=1.

 

 
 

Гипербола. 

Геометрическое  место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек есть величина постоянная, называют гиперболой.

  Для любой гиперболы можно найти декартову систему координат такую, что гипербола будет описываться уравнением:

Числа и называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

Свойства  гиперболы:

• Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.
• Каждая гипербола имеет пару асимптот:  и .
• Расстояние от начала координат до одного из фокусов гиперболы называют фокусным расстоянием гиперболы .
• Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а. Эксцентриситет гиперболы e > 1
• Расстояние от вершины гиперболы до асимптоты вдоль направления параллельного оси ординат называется малой или мнимой полуосью гиперболы .
• Расстояние от фокуса до гиперболы вдоль прямой, параллельной оси ординат называется фокальным параметром ..

Список  литературы:

Канатиков А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов. 2-е изд. / Под ред.  В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000 – 388с.(Сер. Математика в техническом университете; Вып.III).

http://www.Wikipedia.ru