Конус и цилиндр

Цилиндр   Цилиндр − это геометрическое тело, которое ограничено цилиндрической поверхностью и 2-мя плоскостями, которые параллельны и пересекают ее.    ABCDEFG и abcdefg - это основания цилиндра. Расстояние между основаниями (KM) – высота цилиндра.

Цилиндрические сечения боковой поверхности кругового цилиндра. Сечения, которые идут параллельно к основанию, будут являться кругами одного радиуса. Сечения, которые параллельны образующим цилиндра - это пары параллельных прямых (AB || CD). Сечения, не параллельные ни основанию, ни образующим, являются эллипсами.

 

Цилиндрическая поверхность образуется посредством движения прямой параллельно самой себе. Точка прямой, которая выделена, перемещается вдоль заданной плоской кривой – направляющей. Эта прямая называется образующей цилиндрической поверхности.

 

 

Прямой цилиндр – это такой цилиндр, в котором образующие перпендикулярны основанию. Если образующие цилиндра не перпендикулярны основанию, то это будет наклонный цилиндр.

Круговой цилиндр – цилиндр, основанием которого является круг.

Круглый цилиндр – такой цилиндр, который одновременно и прямой, и круговой.

Прямой круговой цилиндр определяется радиусом основания R и образующей L, которая равна высоте цилиндра H.

Призма – это частный случай цилиндра.

 

 

 

 

Формулы нахождения элементов цилиндра.

 

 

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:

 

 

Sбок = 2πRH

 

 

Площадь полной поверхности прямого кругового цилиндра:

 

 

S = Sбок + 2Sосн = 2πR(H + R)

 

 

Объем прямого кругового цилиндра:

 

 

V = SоснH = πR2H

 

 

Прямой круговой цилиндр со скошенным основанием либо кратко скошенный цилиндр определяют с помощью радиуса основания R, минимальной высоты h1 и максимальной высоты h2.

 

 

 

 

Площадь боковой поверхности скошенного цилиндра:

 

 

Sбок = πR(h1 + h2)

 

 

Площадь оснований скошенного цилиндра:

 

 

 

 

Площадь полной поверхности скошенного цилиндра:

 

 

 

 

Объем скошенного цилиндра:

 

 

V = πR2(h1 + h2)/2

 

 

где:

R - радиус основания кругового цилиндра;

L - образующая цилиндра;

H - высота цилиндра;

h1, h2 - высоты скошенного цилиндра;

Sосн - площадь основания;

Sбок - площадь боковой поверхности;

S - площадь полной поверхности;

V - объем цилиндра;

 

 

 

 

 

 

 

Конус

Конус — геометрическое тело в евклидовом пространстве, которое можно получить путем объединения каждого луча, который исходит из одной точки (вершина конуса) и которые проходят через плоскую поверхность.

Бывает, конусом называется часть тела, которая имеет ограниченный объём и которая получена путем объединения каждого отрезка, которые соединяют вершину и точки плоской поверхности. Последняя, в таком случае, является основанием конуса, а конус называется опирающимся на данное основание.

Когда основание конуса является многоугольником – это уже пирамида.

Круговой конус - это тело, состоящее из круга (основание конуса), точки, которая не лежит в плоскости этого круга (вершина конуса и всех отрезков, которые соединяют вершину конуса с точками основания). Отрезки, которые соединяют вершину конуса и точки окружности основания, называют образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Прямой конус – это конус, в котором прямая, которая соединяет вершину конуса и центр основания, перпендикулярна плоскости основания. Прямой круговой конус – это тело, которое получено вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси. Высота конуса – это перпендикуляр, который опущен из вершины конуса на плоскость основания. Основание высоты в прямом конусе совпадает с центром основания.  Ось прямого кругового конуса – это прямая, которая содержит его высоту.

Сечение конуса плоскостью, который проходит через вершину конуса – это равнобедренный треугольник, боковые стороны этого треугольника являются образующими конуса.

Равнобедренным треугольником оказывается и осевое сечение конуса. Это сечение, проходящее через ось конуса.

Плоскость, которая параллельна основанию конуса и которая пересекает конус, отсекает от него конус меньшего размера. Оставшаяся часть является усеченным конусом.

Пирамида, вписанная в конус, это пирамида, у которой основание является многоугольником, вписанным в окружность основания конуса, а его вершина - это вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, которая вписана в конус, становятся образующими конуса.

Касательная плоскость к конусу - это плоскость, которая проходит через образующую конуса и которая перпендикулярна плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Пирамида, описанная около конуса это пирамида, у которой основанием является многоугольник, который описан около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. Плоскости боковых граней описанной пирамиды - это касательные плоскости конуса.

 

 

 

Площадь боковой поверхности правильной n-угольной пирамиды, вписанной в конус:

 

 

Sn=½Pnln,

 

 

где Pn – периметр основания пирамиды, а ln - апофема.

При неограниченном увеличении n периметр основания Pn неограниченно приближается к длине С окружности основания конуса, а апофема ln - к длине l образующей. Значит, боковая поверхность пирамиды неограниченно приближается к ½Cl. Поэтому величину ½ Cl принимают как площадь боковой поверхности конуса.  То есть, площадь боковой поверхности конуса определяют с помощью формулы:    S=½Cl=π Rl,    где R — радиус основания конуса, а l — длина образующей.

 

 

 

По тому же принципу: для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований R1, R2 и образующей l получаем такую формулу:

 

 

S=(R1+R2)l.

 

 

Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом:

 

 

 

 

Свойства конуса.

 

 

• Когда площадь основания имеет предел, значит, объём конуса тоже имеет предел и равен третьей части произведения высоты на площадь основания.

 

 

 

 

где S — площадь основания, H — высота.

 

 

Т.о., каждый конус, который опирается на это основание и имеющие вершину, которая находится на плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, так как их высоты одинаковые.

• Центр тяжести каждого конуса с объёмом, имеющим предел, находится на четверти высоты от основания.

• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса можно выразить такой формулой:

 

 

 

 

где α — угол раствора конуса.

• Площадь боковой поверхности такого конуса, формула:

 

 

S=πRl,

 

 

а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания), формула:

 

 

S=πR(l+R),

 

 

где R — радиус основания, l — длина образующей.

• Объём кругового конуса, формула:

• Для усечённого конуса (не только прямого или кругового) объём, формула:

 

 

 

 

где S1 и S2 — площадь верхнего и нижнего оснований,

h и H — расстояния от плоскости верхнего и нижнего основания до вершины.

 

 

• Пересечение плоскости с прямым круговым конусом - это одно из конических сечений.