Контрольная работа по «Методы принятия оптимального решения»

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Южно-Уральский государственный университет»

(научно-исследовательский университет)

Филиал ФГБОУ ВПО «ЮУрГУ» (НИУ)в г.Златоусте

Факультет «Сервиса, экономики и права»

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

По дисциплине: «Методы принятия оптимального решения»

Вариант №10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №1.

Служба снабжения завода получила от поставщиков 500 стальных прутков длиной 5 м. Их необходимо разрезать на детали А и Б длиной соответственно 2 и 1,5 м, из которых затем составляются комплекты. В каждый комплект входят 3 детали А и 2 детали Б. Характеристики возможных вариантов раскроя прутков представлены в табл. 14.

Таблица 14

Характеристики возможных вариантов раскроя прутков

Вариант раскроя	Количество деталей, шт./пруток		Отходы, м /пруток
	А	Б
1	2	0	1
2	1	2	0
3	0	3	0,5
Комплектность, шт./комплект	3	2

Постройте математическую модель задачи, позволяющую найти план раскроя прутков, минимизирующий количество отходов. Решить задачу графическим способом. Провести анализ чувствительности оптимального решения.

 

Решение: так как задача не решается геометрически, воспользуемся Поиск решения в Excel

1. Х1 – прутков разрезали 1 способом

Х2 – прутков разрезали 2 способом

Х3 – прутков разрезали 3 способом

3. Все ограничения разобьем на 2 группы, обусловленные:

А) ограниченностью поставок прутков:

 

Б) ограниченность по комплектности:

Деталей А:

Деталей Б:

В комплект входят 3 детали А и 2 детали Б, то

 

 

 

4. Не отрицательность количества прутков:

 

Математическая модель задачи:

 

 

• Для того чтобы, продукты 3 и 4 вида вошли в оптимальный план производства необходимо увеличить цену этих продуктов на 1,125 руб.
• Ресурс 3 расходуется полностью, следовательно, ресурс 3 является дефицитным.

Согласно Отчету по устойчивости можно сделать следующие выводы:

• Интервал возможного  изменения значений коэффициентов уелевой функции, при которых сохраняется текущее оптимальное решение, следующее:

Остатки 1 способа [1 – 1,8; 1+]

Остатки 2 способа [0-0; 0 + 0,7]

Остатки 3 способа [0,5-1,125; 0,5+0]

• Двойные оценки (теневые цены) 1 и 2 типов ресурсов положительные. Это еще раз подтверждает, что ресурсы 1 и 2 типа являются дефицитными. Двойственная оценка 1 типа ресурсов показывает, что при его изменении на 1 единицу значение целевой функции измениться на 0,5 единицы. Аналогично двойственная оценка 2 типа ресурсов, показывает изменение значения целевой функции на 0,125 единицы, при изменении ресурса 2-ого тепа на 1 единицу. Следовательно, наиболее предпочтительными (сточки зрения увеличения запаса ресурсов) из дефицитных ресурсов является ресурс 1 типа, поскольку его изменение обеспечит наибольший прирост целевой функции.
• Интервалы изменения объемов используемых ресурсов, при которых сохраняется текущее оптимальные двойственные оценки, следующие:

1 тип ресурсов: [500-500; 500+0]

2 тип ресурсов: [0-2000; 0+2000]

Изменение количества ресурсов за пределами интервалов устойчивости приводит к новым оценкам ресурсов.

• Коэффициенты целевой функции;
• Допустимые значения приращения коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение.

В разделе Ограничения приведены значении:

• Величины используемых ресурсов;
• Теневые цены, т.е. двойственные оценки, которые показывают, как изменяется целевая функция при изменении ресурсов на единицу;
• Значение приращения ресурсов, при которых сохраняется оптимальный набор двойственных переменных, входящих в оптимальное решение.

 

Выводы:

 На основе  Отчета по результатам можно  сделать следующие выводы об  оптимальном решении поставленной  задачи:

1. Максимальное значение прибыли от продажи производимых товаров составляет 250 тыс.руб.
2. Оптимальный план предусматривает раскрой прутков 1 и 2 способами в количестве 250 и 250 шт. соответственно.

 

Задача №2.

В институте проводится конкурс на лучшую стенгазету. Одному студенту дано следующее поручение:

- купить  акварельной краски по цене 30 д.ед. за коробку, цветные карандаши  по цене 20 д.ед. за коробку, линейки  по цене 12 д.ед., блокноты по цене 10 д.ед.;

- красок  нужно купить не менее трех  коробок, блокнотов – столько, сколько  коробок карандашей и красок  вместе, линеек не более пяти.

На покупку выделяется не более 300 д.ед.

В каком количестве студент должен купить указанные предметы, чтобы общее количество предметов было наибольшим? Рассчитайте оптимальный план, используя процедуру Поиск решения в Excel. Проведите анализ чувствительности оптимального решения.

 

Решение:

1. Х1 – купили акварельные краски;

            Х2 – купили цветных карандашей;

            Х3 – купили линеек;

            Х4 – купили блокнотов

3. Все ограничения делятся на 4 группы, обусловленные:

А) суммой денег

Б) количеством красок:

В) количеством линеек:

Г) количеством блокнотов:

4.  Не  отрицательность купленных товаров:

 

Математическая модель задачи:

 

 

 

• Ресурсы 1,2 и 3 типов расходуются полностью, следовательно, ресурсы 1,2 и 3 типа являются дефицитными.

Согласно Отчету по устойчивости можно сделать следующие выводы:

• Интервал возможного изменения значений коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется текущее оптимальное решение, следующие:

Товар А: [1 - 0; 1+0,7]

Товар Б: [1 - 0,5; 1+0,5]

Товар В: [1 - 0,2; 1+0]

Товар Г: [1 - 2; 1+0,5]

• Двойственные оценки (теневые цены) 1 и 3 типов ресурсов положительные. Это еще раз подтверждает, что ресурсы 1 и 3 типа являются дефицитными. Двойственная оценка 1 типа ресурсов показывает, что при его изменении на 1 единицу значение целевой функции изменяется на 0,07 единицы. Аналогично двойственная оценка 2 типа ресурсов, показывает изменение значения целевой функции на 0,7  единицы, при изменении ресурса второго типа на 1 единицу, а ресурсы третьего типа на 0,2 единицы. Следовательно, наиболее предпочтительным (сточки зрения увеличения запаса ресурсов) из дефицитных ресурсов является ресурс 2 типа, поскольку его изменение обеспечивает наибольший прирост целевой функции.
• Интервалы изменения объемов используемых ресурсов, при которых сохраняется текущее оптимальное двойственные оценки, следующие:

1 тип ресурсов: [300 – 120; 300 +0]

2 тип ресурсов: [3 – 3; 3+3]

3 тип ресурсов: [5 – 5; 5+101]

Изменение количества ресурсов за пределами интервалов устойчивости приводит к новым оценкам ресурсов.

• Коэффициенты целевой функции;
• Допустимые значения приращения коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение.

В разделе Ограничения приведены значения:

• Величин используемых ресурсов;
• Теневые цены, т.е. двойственные оценки, которые показывают, как изменяется целевая функция при изменении ресурсов на единицу.

Выводы:

На основе Отчета по результатам можно сделать следующие выводы об оптимальном решении поставленной задачи:

• Максимальное значение прибыли от продажи производимых товаров составляет 19 единиц.
• Оптимальный план предусматривает купить 3 акварельных краски, 4 пачки цветных карандашей, 5 линеек и 7 блокнотов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №3.

Четыре предприятия данного экономического района для производства продукции используют три вида сырья. Потребности в сырье каждого из предприятий соответственно равны 120, 50, 190 и 110 ед. Сырье сосредоточено в трех местах его получения, а запасы соответственно равны 160, 180, 170 ед. На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок являются известными величинами и задаются матрицей.

.

Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной. Найти тремя методами опорный план транспортной задачи и решить ее методом потенциалов.

 

Решение:

1. Сбалансированность модели

120+50+190+110=470

160+180+170=510

2. Введем фиктивного потребителя Вф

Поставщики	Пункты потребления					Запасы
	В1	В2	В3	В4	Вф
А1	11 120	9 40	8 -	5 -	0 -	160/40/0
А2	7 -	2 10	3 170	4 -	0 -	180/170/0
А3	6 -	8 -	4 20	2 110	0 40	170/150/40/0
Потребности	120/0	50/10/0	190/20/0	11/0	740	510

 

Опорный план

 

Затраты:

L(Xcзу)=120*11+40*9+10*2+170*3+20*4+110*2=2510 руб

 

3. Опорный план модели минимального элемента

Поставщики	Пункты потребления					Запасы
	В1	В2	В3	В4	Вф
А1	11 120	9 -	8 -	5 0	0 40	160/40/0
А2	7 -	2 50	3 130	4 -	0 -	180/130/0
А3	6 -	8 -	4 60	2 110	0 -	170/60/0
Потребности	120	50/0	190/60/0	110/0	40	510

 

Опорный план

 

Затраты:

L= 120*11+50*2+130*3+60*4+110*2=2270руб.

 

4. Опорный план методом Фогеля

	В1	В2	В3	В4	Вф	bi	Штрафы строк, di
А1	11 -	9 50	8 -	5 110	0 -	160/110/0	3 8-5	3	-	-
А2	7 -	2 -	3 180	4 -	0 -	180/0	1 3-2	1	1	4
А3	6 120	8 -	4 10	2 -	0 40	170/160	2 4-2	2	2	2
aj	120	50	190/10	11/0	40
Штрафы столбцов, dj	1 7-6	6 8-2	1 4-3	2 1-4	0 0-0
	1	-	1	2	0
	1	-	1	-	0