Автор работы: Пользователь скрыл имя, 15 Января 2015 в 18:24, контрольная работа
Вопрос 1. Из города А в город В ведут 5 дорог, и из города В в город С — три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С? Вопрос 2. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну - на правую так, чтобы выбранные перчатки были разных размеров?
Студент: ___Усов А.А.
Вопрос 1. Из города А в город В ведут 5 дорог, и из города В в город С — три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?
Ответ: Согласно правилу произведения: Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А; В) в указанном порядке можно осуществить m n способами. Тогда количество путей из города А в город С, проходящих через город В = 5 3 = 15.
Вопрос 2. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну - на правую так, чтобы выбранные перчатки были разных размеров?
Ответ:
Количество способов рассчитывается по формуле количества размещений без повторений:
= ; тогда = =5×6=30.
Вопрос 3. Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?
Ответ:
В команде №1 будет играть один юноша, а в команде №2 — двое, тогда количество способов, которыми можно разбить 3-х юношей на 2 команды = 3. Затем нам надо в команду №1 выбрать 3-х девушек из 5-ти. Это можно сделать - способами .
Вычисляя по формуле = ;
= = 10.
Всего по правилу произведения получим количество способов разбивки на команды =
=10 3 = 30.
Вопрос 4. В купе железнодорожного вагона имеются два противоположных дивана по 5 мест на каждом. Из 10 пассажиров этого купе четверо желают сидеть лицом к паровозу, 3 - спиной к паровозу, а остальным безразлично как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры с учетом их желаний?
Ответ:
Рассмотрим диван на котором можно сидеть лицом к паровозу:
- на нем можно посадить 5 пассажиров из которых 4 – желают сидеть лицом к паровозу и 1- ому безразлично как сидеть – его можно выбрать =3 способами, кроме того эти 5 пассажиров можно разместить на диване = 5! – способами, тогда количество способов размещения пассажиров на диване = 3 · (5!) = 360 способов.
Кроме того очевидно, что и на диване, на котором можно сидеть спиной к паровозу можно разместить 5 пассажиров = 120 - способами.
Тогда общее число способов размещения пассажиров удовлетворяющих решению задачи = 360+120=480 способов.
Вопрос 5. В почтовом отделении продаются открытки десяти видов в неограниченном количестве. Сколькими способами можно купить 12 открыток?
Ответ:
Количество способов рассчитывается по формуле количества сочетаний c повторениями.
Число сочетаний с повторениями из элементов n-типов по m равно:
= = ;
= = = 293930.
Т.о. число способов, которыми можно купить 12 открыток из 10 видов = 293930.
Вопрос 6. В соревновании по гимнастике участвуют 10 человек практически одинаковых по степени мастерства. Трое судей должны независимо друг от друга перенумеровать их в порядке, отражающем их успехи в соревновании по мнению судей. Победителем считается тот, кого назовут первым хотя бы двое судей. В какой доле всех возможных случаев победитель будет определен?
Ответ:
Три судьи могут выбрать победителя способами.
Различных кандидатов они выберут в = = 720 случаях. Поэтому совпадение хотя бы у двух судей будет в 1000-720=280 случаях. Доля таких случаев равна 0,28.
Вопрос 7. В урне лежат 10 жетонов с числами 1,2, 3,..., 10. Из нее, не выбирая, вынимают 3 жетона. Во скольких случаях сумма написанных на них чисел не меньше 9?
Ответ:
Найдем комбинации жетонов на которых сумма написанных чисел < 9.
Общее количество комбинаций жетонов = = = 120, тогда количество комбинаций жетонов на которых сумма написанных на них чисел не меньше 9 будет = 120-4 = 116.
Вопрос 8. Человек имеет 6 друзей и в течении 20 дней приглашает к себе 3 из них так, что компания ни разу не повторяется. Сколькими способами может он это сделать?
Ответ:
Число комбинаций компаний друзей = =20, тогда в течении 20 дней каждый способ выбора компаний будет использован, число перестановок этих способов = = 20!
Вопрос 9. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 47 человек, с сыром - 38 человек, с ветчиной - 42 человека, и с сыром и с колбасой - 28 человек, и с колбасой и с ветчиной - 31 человек, и с сыром и с ветчиной - 26 человек. Все три вида бутербродов взяли 25 человек, а несколько человек вместо бутербродов захватили с собой пирожки, Сколько человек взяли с собой пирожки?
Ответ:
Введем следующие обозначения:
= человек взял с собой
= человек взял с собой
= человек взял с собой
= количество человек, которые взяли с собой бутерброды с колбасой=47;
= количество человек, которые взяли с собой бутерброды с сыром=38;
= количество человек, которые взяли с собой бутерброды с ветчиной=42;
= количество человек, которые взяли с собой бутерброды с колбасой и сыром=28;
= количество человек, которые взяли с собой бутерброды с колбасой и ветчиной=31;
= количество человек, которые взяли с собой бутерброды с сыром и ветчиной=26;
= количество человек, которые взяли с собой все три вида бутербродов=25;
Тогда по формуле включений и исключений число предметов, не обладающих ни одним из указанных свойств (т.е. количество человек, которые взяли с собой только пирожки) будет:
= N - - - + + + - = 92-47-38-42+28+31+26-25 = 25.
Т.о. количество человек, которые взяли с собой только пирожки = 25.
Вопрос 10. Найти решение задачи, состоящей в определении максимального значения функции:
F=
при условиях:
Ответ:
Т.к. , то функция F будет достигать максимума, если , тогда будем иметь следующую систему уравнений:
Решим данную систему:
из 1-го уравнения имеем: , подставим в 3-е уравнение: , откуда ;
подставляя далее в 1-ое уравнение имеем =3, и из 2-го уравнения =1.
Т.о. функция F будет достигать максимума при =3; ; ; =1; ; Fмах=9.