Контрольная работа по "Математике"

МОСКОВСКИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ

Негосударственное образовательное учреждение

Высшего профессионального  образования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МАТЕМАТИКА

• (часть 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@МЭИ, г. Москва – 2013 года

 

 

Задание 1

Литье в болванках  для дальнейшей обработки поступает из двух цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго цеха. При этом материал одного цеха имеет 10% брака, а материал  второго цеха – 20% брака. Найти вероятность того, что одна, взятая наудачу болванка не имеет дефектов.

Решение:

Задача на формулу полной вероятности. Обозначим H₁(H₂) – болванка из первого (второго) цеха. По условию P(H₁)=0,7 , P(H₂)=0,3. Обозначим A – болванка годная.

Тогда по условию P(A/H₁)=0,9 , P(A/H₂)=0,8

Искомая вероятность

P(A)= P(H₁) P(A/H₁)+ P(H₂) P(A/H₂)=0,7·0,9+0,3·0,8=0,8

 

Задание 2

В турнире встречаются 10 шахматистов,

имеющие одинаковые шансы  на любой исход в каждой встрече (только одной для каждых двух участников). Найти вероятность 

того, что какой-либо один из участников проведет все встречи  с выигрышем.

Решение:

Всего в каждой партии имеется 3 исхода: выигрыш, проигрыш и  ничья. Шансы равные,

поэтому вероятность  каждого исхода равна 1/3.

По правилу умножения  вероятностей вероятность выиграть во всех девяти встречах равна (1/3)⁹

 

Задание 3

Вероятность проявления события А в отдельном испытании равна 0,75. Какова вероятность того, что при восьмикратном повторении это событие появится более 6 раз?

Решение:

Рассмотрим событие  Н (событие А появилось в 8 испытаниях более 6 раз). Оно представляет собой  объединение следующих событий :

Н₇ (событие А появилось ровно 7 раз (и H₈ (событие появилось ровно 8 раз). По биномиальному закону:

P(H₇)=C₇⁸p⁷(1-p)¹=8·(0,75)⁷(0,25)=0,267

P(H₈)=C₈⁸p⁸(1-p)⁰=1·(0,75)⁸=0,1

Тогда р(Н)=р(Н₇)+р(Н₈)=0,367

 

Задание 4

Для определения средней урожайности поля площадью 1800 га взято на выработку по 1 м² с каждого гектара. Известно, что по каждому гектару поля дисперсия не превышает 6. Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности отличается от средней урожайности по всему полю не более чем на 0,25 ц.

Решение:

Для оценки вероятности  воспользуемся неравенством Чебышева.

P(|∑x_i/n-∑Mx_i/n|≤ε)>1-b/n ε²

В нашей задаче ε=0,25 , b=6, n=1800 . Имеем:

P(|∑x_i/n-∑Mx_i/n|≤0,25)>1-6/1800(0,25)²=

=71/75=0,947

 

Задание 5

Из партии 4000 деталей на выработку проверены 500. При этом оказалось 3% нестандартных. Определить вероятность того, что доля нестандартных деталей во всей партии отличается от их доли в выборке менее, чем на 1%.

Решение:

Сделаем допущение, что  распределение нестандартных деталей в партии является биномиальным. Заметим, что для решения задачи объем партии в 4000 деталей несущественен. Если он будет иметь другое значение (скажем 5000), то ход решения задачи и ответ не изменятся. Так как объем выборки велик (несколько сотен), то можно воспользоваться следующей формулой для оценки точности границ доверительного интервала

неизвестной вероятности  биномиального распределения:

   δ=t·√ω(1-ω)/n

Здесь t - тоже, что и  в предыдущей задаче, ω – относительная частота, n – общее число испытаний. По условию задачи ω=0,03 и n=500. Кроме того, нам указано, что ошибка оценки неизвестной вероятности не должна превосходить 1%. Значит δ=0,01. Подставляем числа в приведенную выше формулу:

   0,01=t·√0,03(1-0,03)/500

Решая это уравнение, находим t=1,31. Открываем таблицу значений функции Лапласа Ф(t) и отыскиваем Ф(1,31)=0,1714=γ/2. Значит γ≈0,3428

Ответ: доля нестандартных  деталей во всей партии отличается от их доли в выборке менее, чем  на 1% с вероятностью 0,3.

 

 

 

Задание 6

Три товарища договорились встретиться. Первый из них никогда не опаздывает, но предупредил, что сможет придти на встречу с вероятностью 0,9. Второй опаздывает с вероятностью 0,2 , а третий обычно опаздывает с вероятностью 0,4. Какова вероятность того, что к назначенному сроку (без опоздания) встретятся хотя бы двое из троих друзей?

Решение:

Рассмотрим событие H (встретились хотя бы двое из 3 друзей).

Оно представляет собой  объединение следующих событий: Н₃ (встретились все трое) и Н₂ (встретились ровно двое из друзей).

Найдем вероятности этих событий:

р(Н₃)=0,9·(1-0,2)(1-0,4)=0,432

(первый пришел, а второй и третий -  не опоздали)

р(Н₂)=0,9·(1-0,2)(0,4)+0,9(0,2)(1-0,4)+(1-

-0,9)(1-0,2)(1-0,4)=0,444

(первый пришел, второй не опоздал, третий опоздал), или (первый пришел, второй опоздал, третий не опоздал), или (первый не пришел, второй не опоздал, третий не опоздал).

Тогда р(Н)=р(Н₃)+р(Н₂)=0,876

 

Задание 7

Вероятность появления  события А в каждом из 12 повторных  независимых испытаний

Р(А)=р=0,75. Определите среднее  значение и дисперсию случайной величины числа появлений события А в 12 независимых повторных испытаниях.

Решение:

Учитывая условия задачи, заметим, что величины числа появлений  события А в 12 независимых повторных  испытаниях подчинены биномиальному  закону с параметрами р=0,75 и n=12.

Для данного закона

Мx=np=12

Мx=np=12·0,75=9

D(x)=np(1-p)=12·0,75·0,25=2,25

 

Задание 8

При каком числе n независимых  испытаний и вероятность выполнения неравенства

|m/n-p|≤0,2 , где m – число появлений события А в этих n испытаниях, превысит

0,9 , если вероятность появления события А в отдельном испытании р=0,7?

Решение:

Воспользуемся теоремой Бернулли.

p(|m/n-p|≤ε)>1-p(1-p)/nε²

 

Имеем ε=0,2 , р=0,7

Получим неравенство:

p(|m/n-p|≤0,2)>1-0,7(1-0,7)/n0,2²>0,9

 

Или n>0,21/0,004=52,5. Т.е. n≥53