Контрольная работа по "Математике"

Министерство образования и  науки Российской Федерации

ФГАОУ ВПО «Российский государственный  профессионально-педагогический университет»

Институт  электроэнергетики и информатики

Факультет математики

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по  математике

Вариант №52

 

 

 

 

 

 

 

 

Работу выполнил: Зубарев Д.А.

группа: ЗЭП 102 С

Работу проверил:

 

 

 

 

 

Екатеринбург

2013

 

Задача№1

В пирамиде SABC: треугольник ABC-основание пирамиды, точка S его вершина. Даны координаты точек  A(4;0;0); B(0;-8;0); C(0;0;2); S(4;6;3).

Сделать чертёж

Найти:

1. длину ребра AB;
2. угол между рёбрами AB и AC;
3. угол наклона ребра AS к основанию пирамиды;
4. площадь основания пирамиды;
5. объём пирамиды;
6. уравнение прямой AB;
7. уравнение плоскости ABC;
8. проекцию вершины S на плоскость ABC;
9. длину высоты пирамиды.

Решение: Построим на ребрах пирамиды вектора

 

1. длину ребра АВ;

1. угол между ребрами АВ и АS -это угол между векторами

3) площадь основания пирамиды;

4)объем пирамиды;

5) уравнение прямой АВ;

Запишем уравнение прямой, проходящей через две точки.  Получим  каноническое уравнение прямой :

в котором известен направляющий вектор прямой

2. уравнение плоскости АВС;

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, имеет вид

3. угол наклона ребра АS к основанию пирамиды;

Найдем угол a между вектором и нормалью к плоскости ABC

8) проекцию вершины S на плоскость АВС;

Запишем уравнение прямой SP, проходящей через точку S перпендикулярно плоскости ABC

 

– координаты вектора, нормали к  плоскости  ABC. Это вектор

Проекцию вершины S на плоскость ABC найдем как точку пересечения прямой и плоскости из решения системы

 

Запишем уравнение прямой SP в параметрическом виде.

 

Подставим в уравнение плоскости

 

Итак  – искомая точка пересечения.  

 

 

10.  Длину высоты пирамиды H можно найти из формулы:

 

 

Задача№2

Дана система линейных уравнений:

Доказать её совместность и решить тремя способами:

1. методом Гаусса;
2. средствами матричного исчисления;
3. по правилу Крамера.

Метод Гаусса

 

  Обратный ход метода Гауса

Подставляем

Проверка:

Ответ:

 

Метод Крамера

 

Проверка:

Ответ:

 

Cредства  матричного  исчисления.

 

 

 

 

 

Проверка:

Ответ:

 

Задача№3

Дано комплексное число  Требуется: 1) записать число в алгебраической и тригонометрической форма; 2) найти все корни уравнения

Где

1)Алгебраическая форма

Ответ: алгебраическая форма

 

Тригонометрическая форма 

 

 

Подставляем

Ответ: тригонометрическая форма

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 

            

             

 

Задача№4

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя

Максимальная степень  в числителе:3

Максимальная степень  в знаменателе:3

Разделим числитель  и знаменатель на 

 

Используем метод умножения  числителя и знаменателя на сопряжённое  выражение

 

при является эквивалентной бесконечно малой функцией

 

Использовали второй замечательный предел

 

Задача№5

Найти производные  данных функций

Решение:

 

Неявная функция

Задача№6

Исследовать методами дифференциального  исчисления функцию и, используя результатс исследования, построить её график.

1). Область определения функции вся числовая прямая, т.е. D(y) = (−∞;+∞)

Точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет

2) Точки пересечения  с осями координат:

Ox :

точки (1,0), (-1,0).

Oy: X=0 

точка (0, -1)

3) Функция четная, так  как

График симметричен  относительно оси Y.

4) Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:

Критическая точка Х=0

Функция убывает на интервале (-∞;0) и возрастает на интервале (0: +∞)

Функция имеет минимум при Х=0

5) Выпуклость и точки  перегиба. Вычисляем вторую производную.

Находим критические  точки: x = 0 . Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят области определения функции. Функция выпукла вниз на интервале (0;+∞) , выпукла вверх на интервале (−∞;0) .

6) Асимптоты.

Так как

Ассимптот нет.

7) Строим график функции,  отметим ключевые точки:

 

Задача№7

Найти неопределённые интегралы. В двух примерах (пункты а и б) проверить результаты дифференцированием.

 

Замена

Проверка

 

Пусть    тогда

     

Согласно формуле  преобразуем

подставляем

Подставляем  значение

Получаем

Проверка:

 

Преобразуем знаменатель

Разложим дробь

Найдем А, В, С

С=-1, A=2, B=0

 

Найденные A, B, C подставляем в интеграл