Контрольная работа по "Математике"

Контрольная работа № 2 по математике

 Вариант 21.

 

Задание 1.

Провести полное исследование функции  и построить ее график:

 

Решение:

Область определения  функции:

Х=1 – вертикальная асимптота.

Проверим наличие асимптот вида

Значит,  у = х – наклонная  асимптота.

Найдём точки пересечения  с осями координат.

С осью Ох:  ,то есть  (0,0)

С осью ОУ:  , то есть точка (0,0)

Найдём первую производную:

 

 

 

 +                         - +

 Возрастает     0    убывает     возрастает

Х= 0 – точка максимума; х = - точка минимума. 

Найдём вторую производную: 

 

 +                          -                -                           + 

Вогнутая              выпуклая 0   выпуклая     1    вогнутая   

  - точка перегиба 

 

Выполним построение:

 

Задание 2.

Показать, что данная функция z = f (x; y) удовлетворяет данному уравнению

    

_{Решение:}

 

Задание 3.

Найти полный дифференциал dz данной функции

_{Решение:}

 

Задание 4.

Исследовать на экстремум функцию

Найдём частные производные  первого порядка:

Приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

Найдём частные производные  второго порядка:

Для точки М(0,0)

Так как  ,  то функция не имеет экстремума в точке М(0,0)

Для точки М(0,-2)

Так как  ,  A>0, то функция имеет минимум в точке

 

 

Контрольная работа № 4 по математике для студентов  ЦДФО ТулГУ

 Вариант 21.

 

Задание 1.

Найти неопределенные интегралы. В  примерах 1) и 2) проверить результаты дифференцированием:

1)

2) ; 3)

_{Решение:}

1)

2) ;

3)

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2.

Найти общие решения  или общие интегралы дифференциальных уравнений.

а)   б)

_{Решение:}

а)

Заменим  y=uv,  y^'=u^'v+uv^', тогда

Приравнивая скобку к  нулю, получаем

Следовательно,

 

б)

Сделаем замену:   , тогда

 

Задание 3.

Найти частное решение  дифференциального уравнения y''+py'+qy=f(x), удовлетворяющее начальным условиям y(0)=y_o; y'(0)=y'_o

  y(0) = ,  y'(0) =

_{Решение:}

Решим однородное уравнение:

Характеристическое уравнение:

С учётом начальных условий:

 

Задание 4.

Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными  коэффициентами где

Найти общее решение  системы сведением ее к дифференциальному  уравнению II порядка с одной неизвестной функцией.

 

1) Запишем систему  в виде матричного дифференциального  уравнения: 

Здесь

Тогда  – система в матричной форме.

2) Характеристическое  уравнение имеет вид:

При система принимает вид:

Полагая , получим . Возникает частное решение системы

При система принимает вид:

Полагая , получим . Возникает частное решение системы

 

Общее решение системы в матричном  виде:

Запишем общее решение системы  в скалярной форме:

 

 

 

Задание 5.

Исследовать сходимость числового ряда.

Решение:

Используем радикальный признак  Коши:

, ряд сходится.

 

Замечание:

Применили признак Коши, так как  при исследование по признаку Даламбера  предел даёт 1, из-за чего не возможно сделать  вывод о сходимости ряда.