МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТДИСТАНЦИОННОГО  ОБРАЗОВАНИЯ 
 
 
 
 

Кафедра «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» 
 
 

Контрольная работа  

по  дисциплине: «Математика» 

Вариант 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил: студент 1 курса группы БУА-5

Проверил:___________________________ 
 
 

Тюмень 2007 год 

 

Содержание

      

«Введение в  анализ и дифференциальное исчисление функции одного

переменного……………………………………………………………………2

«Дифференциальное исчисление функций и его приложение……………...6

«Интегральное исчисление функции одного переменного»……………….11

 

      «Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции  одного переменного»

      1. Вычислить предел: .

     Решение.

     При имеем

      

     Следовательно,

      

       . 

      2. Найти асимптоты  функции:  .

     Решение.

      Очевидно, что функция не определена при  .

     Отсюда  получаем, что

      

      Следовательно, – вертикальная асимптота.

     Теперь  найдем наклонные асимптоты.

       .

      

      Следовательно, – горизонтальная асимптота при . 

      3. Определить глобальные  экстремумы: при .

     Решение.

     Известно, что глобальные экстремумы функции  на отрезке достигаются или в  критических точках, принадлежащих  отрезку, или на концах отрезка. Поэтому  сначала находим  .

      

     А затем находим критические точки.

       .

     Теперь  найдем значение функции на концах отрезка.

       .

      Сравнивая значения, получаем:

        

      4. Исследовать на  монотонность, найти  локальные экстремумы  и построить эскиз  графика функции: 

.

     Решение.

     Сначала находим  .

       .

     Затем находим критические точки.

       . 

 

     Отсюда  следует, что функция возрастает при  , убывает при .

      Точка – локальный максимум.

      Точка – локальный минимум.

        

      5. Найти промежутки  выпуклости и точки  перегиба функции: 

.

     Решение.

     Чтобы найти промежутки выпуклости и точки  перегиба, найдем вторую производную  функции.

       .

       .

       .

 

     Отсюда  следует, что функция

      выпуклая  при  ,

      вогнутая  при  .

     Точка – точка перегиба.

 

       «Дифференциальное исчисление функций  и его приложение»

 

      1. Провести полное  исследование свойств  и построить эскиз  графика функции  .

Решение.

      1) Область определения функции

       .

      2) Поскольку  , функция не является четной или нечетной.

      3) Точки пересечения с осями: 

      а) с оx:

б) с oy .

      4) Асимптоты.

      а) .

      Следовательно, – вертикальная асимптота.

      б) Теперь найдем наклонные асимптоты 

      

      

      Отсюда  получаем, что

        – наклонная асимптота  при  .

      5) Критические точки

      

      

      К тому же не существует при .

      6)

      

      К тому же не существует при

      Эскиз графика функции 

        

      2. Найти локальные  экстремумы функции  . 

      Решение.

     Сначала найдем частные производные

      

     Известно, что необходимым условием существования  экстремума является равенство нулю частных производных.

      

      То  есть мы получили две критические  точки

       . Далее проведем исследование  этих точек.

     Для чего найдем предварительно частные  производные второго порядка 

        

      Для точки  :

      

       .

      Следовательно, точка  не является точкой экстремума. 

      Для точки  :

      

       .

      Следовательно, точка  не является точкой экстремума.

      Вывод – локальных экстремумов у  функции  нет. 

      3. Определить экстремумы  функции  , если .

      Решение.

      Сначала запишем функцию Лагранжа

      

      И исследуем ее

      

      

      То  есть мы получили две критические  точки: .

      В силу условия  нам подходит только точка .

      Поэтому будем исследовать эту точку

     Вычислим  частные производные второго  порядка:

      

     Отсюда  получаем, что 

      

      Теперь продифференцируем уравнение связи

      

      Для точки получаем .

      Следовательно,

     То  есть мы получили положительно определенную квадратичную форму.

      Следовательно, является точкой условного локального минимума.

        

 

       «Интегральное исчисление функции одного переменного»

 

      1–3. Найти неопределенный  интеграл 

      1. .

      Решение.

      

      

      

        

      2. .

      Решение.

      

      

        

      3. .

      Решение.

      

        

      4. Вычислить  .

      Решение.

      

        

      5. Определить площадь  плоской фигуры, ограниченной  кривыми

       .

      Решение.

      

      

       .