Содержание

 

1.Введение  в анализ и дифференциальное  исчисление функции  одного переменного

 
 

1. Вычислить предел

 
 

2. Найти асимптоты  функции

Отметим, что  данная функция не существует при  .

Исследуем прямую на вертикальную асимптотичность:

Отсюда следует, что прямая является вертикальной асимптотой.

Проверим функцию  на существование горизонтальных асимптот:

Отсюда следует, что горизонтальные асимптоты отсутствуют.

Проверим функцию на существование наклонной асимптоты:

Отсюда следует, что функция имеет наклонную  асимптоту 

Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту  и наклонную асимптоту  
 
 
 
 
 

3. Определить  глобальные экстремумы

   при хÎ[-2,0]

Для определения  глобальных экстремумов, вычислим производную 1-го порядка для данной функции:

Найдем значения аргумента, при которых данная производная будет равна 0:

Отсюда имеем  ;

Продолжая решение:

По теореме  Виета, получим:

По условию  задания глобальные экстремумы определяются на отрезке хÎ[-2,0]. Таким образом, имеем, что на отрезке [-2, -1] значение производной отрицательно, на отрезке  
[-1, 0] – положительно. Таким образом, при , функция принимает минимальное значение на заданном отрезке:

Исследуем значения функции на концах заданного отрезка: ,

Таким образом, при  функция принимает максимальное значение на заданном отрезке.

Ответ:  

4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции

Для исследования функции на монотонность, найдем производную 1-го порядка:

, Определим значения аргумента,  при которых производная равна  0

На промежутке - функция монотонно убывает

На промежутке - функция монотонно убывает

На промежутке - функция монотонно возрастает

То есть при  х=0, функция принимает минимальное значение у=0

Таким образом, эскиз графика функции, выполненный  по условию задания, выглядит следующим  образом:

 
 

5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

По теореме  Виета:

Далее определим  промежутки выпуклости функции

На промежутке ; - выпуклость вверх

На промежутке ; - выпуклость вниз

На промежутке - выпуклость вверх

Значения функции  в точках перегиба:

Тогда точки перегиба функции: и N  
 
 
 
 
 
 

2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение

 

1. Провести  полное исследование свойств и построить  эскиз графика функции

1. Функция не является четной, не является нечетной. Функция не периодична.
2. Функция не существует при . Проверим гипотезу об асимптоте : 
    
    
   Таким образом является вертикальной асимптотой данной функции
3. Проверим гипотезу о существовании горизонтальной асимптоты: 
    
   Отсюда следует, что горизонтальные асимптоты отсутствуют.
4. Проверим гипотезу о существовании наклонной асимптоты: 
    
   аналогично при  
   Таким образом, наклонная асимптота имеет вид:
5. единственно при , и не существует при Исследуем знаки постоянства функции:  
   на промежутке    
   на промежутке
6. Исследуем функцию на монотонность: 
   ; 
   при  
   На интервале - функция возрастает 
   На интервале - функция убывает 
   На интервале - функция убывает 
   На интервале - функция убывает 
   На интервале -функция возрастает 
   Точки экстремума: - локальный максимум 
   - локальный минимум
7. Исследуем функцию на выпуклость: 
    
   данное уравнение корней не имеет;

Производная второго порядка не существует при   
На промежутке - функция выпукла вверх 
На промежутке - функция выпукла вниз 

Таким образом, учитывая все вышеуказанное, эскиз графика функции будет выглядеть следующим образом:

 
 

2. Найти локальные  экстремумы функции 
    
   Найдем первые производные: 
    
   Составим систему:

Найдем вторые производные:

 

Поскольку производные 2-го порядка для данной функции  не существуют, то вопрос о локальных экстремумах остается открытым. 

3. Определить  экстремумы функции

,   если у²+2х²=12, х>0, у>0

1. Составляем функцию Лагранжа: 
    
   
2. Найдем первые частные производные функции Лагранжа: 
   
3. Составим систему уравнений: 
    
   По условию: х>0, у>0 
   Таким образом: х = у 
   
4. Определи вторые производные функции Лагранжа: 
    
    
   
5. Учитывая значения переменных, полученные в п.3, имеем: 
   
6. Найдем производные условной функции: 
   
7. Таким образом: 
    
   Видим, что в точке (2,2) исходная функция при условии у²+2х²=12, х>0, у>0,  будет иметь строгий условный максимум, при этом  
   

3. Интегральное исчисление  функции одного  переменного

 

1-3 Найти неопределенный интеграл: 
а.

 
б.  

 
в.  

4 Вычислить  

Таким образом: 
 

5. Определить  площадь плоской фигуры, ограниченной  кривыми