Контрольная работа по "Математика"

Контрольная работа.

Вариант №15

 

 

Задача 1. Разница между двумя капиталами составляет 500 рублей. Больший капитал вложен в банк на 7 месяцев под 5% годовых, а меньший – на 5 месяцев под 4% годовых. Доход от большего капитала вдвое больше дохода от меньшего капитала. Найдите величину каждого капитала и величину каждого дохода.

Решение

Пусть первый капитал - P1, второй P2.

Тогда, так как разница между двумя капиталами составляет 500 рублей, то P1=500+P2.

Больший капитал вложен в банк на 7 месяцев под 5% годовых, т.е. по формуле простых процентов имеем:

S1=P1 (1+t/12*i)

S - наращенная сумма,

P - первоначальная сумма, вкладываемая,

t - срок вклада в месяцах

i - годовая процентная  ставка

S1=P1 (1+7/12*0,05) = 1,0292Р1

Меньший капитал вложен в банк на 5 месяцев под 4% годовых, т.е. по формуле простых процентов имеем:

S2=P2 (1+5/12*0,04) =1,0167Р2

Согласно условия: доход от большего капитала вдвое больше дохода от меньшего капитала:

S1/S2=2, 1,0292Р1/1,0167Р2=2, Р1=2/1,0167Р2/1,0292= 1,9757Р2

1,9757Р2=500+Р2 

Р2= 500/0,9757=512,45 руб.

Р1= 500+512,45= 1012,45 руб.

Проверка:

S1=1012,45 (1+7/12*0,05) =1041,98 руб.

S2= 512,45* (1+5/12*0,04) =520,99 руб.

S1/S2=1041.98/520.99=2

Ответ: 520,99 руб.; 1041,98 руб.

Задача 2.  На начальную сумму в 1000$ в течении 4 лет начисляются каждые полгода сложные проценты по номинальной ставке 5%. На сколько увеличится или уменьшиться наращённая сумма, если номинальная ставка и число периодов капитализации процентов возрастут вдвое?

Решение

Формула сложных процентов имеет вид:

j - номинальная годовая  процентная ставка, j=0,05, m - количество  раз начислений процентов в  году, m=2, P - первоначальная сумма, Р= 1000$

n - срок в годах, n =4,

Предполагаем, что номинальная ставка увеличится вдвое, т.е. станет равной 0,05*2=0,1

Т.е. наращенная сумма увеличилась в 1,2126 раза (1477,46/1218,40) или на 259,05 $

Предполагаем, что число периодов капитализации увеличится вдвое, т.е. станет равным 2*2=4

Т.е. наращенная сумма увеличилась в 1,0012 раза (1219,89/1218,40) или на 1,49 $

Ответ: 259,05 $ или в 1,2126 раза; 1,49 $ или в 1,0012 раза.

 

Задача 3. «Агробанк» 10.02 учёл три одинаковых векселя на сумму 240000 рублей со сроками погашения: 15.04, 10.05 и 05.06. Какова номинальная стоимость каждого векселя, если процентная ставка составляет 5%?

Решение

Пусть номинальная сумма векселя S.

Сумма получаемая при учете векселя находится по формуле:

S - номинальная сумма векселя

d - процентная ставка,

t - количество дней от  даты учета векселя до даты  погашения векселя,

К - временная база,

t=t2-t1

t1 - номер дня в году, когда учитывают вексель,

t2 - номер дня в году, когда должен быть погашен вексель.

Согласно условия имеем:

, d=0,05; К=365, Р=240000

Ответ: 80991,12 руб.

 

Задача 4. Ссуда в 30500 рублей выдана в 2004 г. 1 января по сложной ставке 10% годовых. Заемщик обязан вернуть долг, выплачивая 8000, 16500 и 6500 руб. последовательно 15.03, 07.07 и 21.10 того же года. Кто при такой схеме погашения кредита оказывается в проигрыше: кредитор или должник, и насколько?

Решение

Дисконтируем выплаты долга к дате выдаче ссуды, используем математическое дисконтирование по сложной процентной ставке.

S - выплачиваемая сумма,

i - годовая сложная ставка,

К - временная база,

t1 - номер дня в году, когда выдана ссуда,

t2 - номер дня в году, когда заемщик возвращает долг.

01.01 - 1 день в году

15.03 - 74 день,

07.07 - 188 день,

21.10 - 294 день в году.

К=365

Таким образом, дисконтированная сумма меньше выданной (29593,84<30500), т.е. в выигрыше должник на 30500-29583,84= 916,16 руб.

Ответ: выигрыше должник на 916,16 руб.

 

Задача 5. Предпринимателю осталось 20 лет до выхода на пенсию, после чего он рассчитывает прожить еще 25 лет. Для нормального существования в пенсионный период он хотел бы иметь ежегодный доход в 2400 долл. К моменту выхода на пенсию предприниматель предполагает купить загородный дом за 10 тыс. долл. Для того чтобы накопить требуемую сумму, предприниматель планирует ежегодно делать взнос в банк. Он полагает, что в первые пять лет сможет вносить в банк по 1000 долл. ежегодно, в следующие пять – по 1500 долл. (схема постнумерандо). Какой должен быть ежегодный вклад в банк в оставшиеся до пенсии 10 лет, если приемлемая норма прибыли равна 6%?

Решение

За базу расчета примем момент выхода на пенсию.

Первые пять лет он сможет вносить в банк по 1000 долл. ежегодно, вклад делается в начале года, через пять лет будет сумма (наращенная сумма по сложным процентам):

Эта сумма будет лежать в банке еще 15 лет, т.е. к моменту выхода на пенсию она будет равна:

банковская операция ставка процентная

Вторые пять лет он сможет вносить в банк по 1500 долл. ежегодно, вклад делается в начале года, через пять лет будет сумма (наращенная сумма по сложным процентам):

Эта сумма будет лежать в банке еще 10 лет, т.е. к моменту выхода на пенсию она будет равна:

Десять лет перед пенсией он вносит ежегодно R, для расчетов используем формулу наращенной суммы ренты пренумерандо:

С момента выхода на пенсию в течение 25 лет в начале года он будет получать по 2400 долл. Определим современную стоимость ренты:

Таким образом, к моменту выхода на пенсию он должен иметь:

30680,05+ 10 000= 40680,05 долл.

Составим уравнение эквивалентности:

14320, 20+16051,33+13,9716R= 40680,05

R= (40680.05-14320.20-16051.33) /13.9716=737.82 долл.

Ответ: 737,82 долл.

 

Задача 6. Заем величиной 4000000 руб. погашается одинаковыми ежегодными выплатами в течение 5 лет. Процентная ставка равна 6% годовых. Капитализация производится один раз в год. Составьте план погашения.

 

Решение

Это рента постнумерандо. Рассчитаем величину члена ренты:

А - величина займа, А= 4000 000 руб., n - срок займа в годах, n=5, i - процентная ставка, i=0,06

период	Сумма кредита на начало периода	Начисленные проценты	Выплата	Сумма, направленная на погашение основного долга	Остаток кредита на конец периода
1	4000000,00	240000,00	949585,60	709585,60	3290414,40
2	3290414,40	197424,86	949585,60	752160,74	2538253,66
3	2538253,66	152295,22	949585,60	797290,38	1740963,28
4	1740963,28	104457,80	949585,60	845127,80	895835,48
5	895835,48	53750,12	949585,60	895835,48	0,00