Контрольная работа по «Математика»

                         Контрольная работа по дисциплине «Математика» (часть 3)».

 

Задание 1. Из города А в город В ведут 5 дорог, и из города В в город С – три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

РЕШЕНИЕ

Из города А в город В у нас существует 5 способов перемещения, для каждого из этих способов мы можем взять любой из 3 способов перемещения из В в С.

Поэтому у нас  существует 5*3=15 способов.

Ответ: 15 путей, проходящих через В, ведут из А в С 

Задание 2. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну – на правую так, чтобы выбранные перчатки были разных размеров?

РЕШЕНИЕ

Выбрать перчатку на левую руку можно 6 способами. При  каждом таком выборе левой перчатки можно 5 способами выбрать правую перчатку, не совпадающую по размеру  с выбранной левой.

По правилу  произведения то, о чем спрашивается, можно выбрать 6*5=30 способами. 

Задание 3. Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?

РЕШЕНИЕ

Двоих юношей для  двух команд фиксируем, остается 6 человек, котрых нужно расформировать по три в команду: С из 6 по 3= 20. Так как команд две, то 20:2=10. 

Задание 4. В купе железнодорожного вагона имеются два противоположных дивана по 5 мест на каждом. Из 10 пассажиров этого купе четверо желают сидеть лицом к паровозу, 3 – спиной к паровозу, а остальным безразлично как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры с учетом их желаний?

РЕШЕНИЕ

Четверых лицом  к поезду можно разместить А из5 по 4 = 4!= 24 способами.

Троих спиной - А  из 5 по 3 = 3 способами.

И оставшихся троих  на три места - 3! = 6 способами.  

Задание 5. В почтовом отделении продаются открытки десяти видов в неограниченном количестве. Сколькими способами можно купить 12 открыток?

РЕШЕНИЕ

Искомое число равно

V(12,10) = C(12+10-1,10) =

Задание 6. В соревновании по гимнастике участвуют 10 человек практически одинаковых по степени мастерства. Трое судей должны независимо друг от друга перенумеровать их в порядке, отражающем их успехи в соревновании, по мнению судей. Победителем считается тот, кого назовут первым хотя бы двое судей. В какой доле всех возможных случаев победитель будет определен?

РЕШЕНИЕ

Пусть событие A = (хотя бы двое назвали победителя одинаково) 
Разобьем его на сумму дополнительных событий: A = B + C, где 
B = (все трое назвали одинаково), 
С = (двое назвали одинаково, а третий по-другому). 
P(A) = P(B) + P(C), P - вероятность.

P(B) = 10/1000 = 1/100, т.к. вероятность того, что все  трое назовут данного конкретного  гимнаста, равна (1/10)*(1/10)*(1/10) = 1/1000, а всего гимнастов 10.

Перенумеруем  судей: c1, c2, c3. 
P(C) = 3*P(D), где событие D = (с1 и с2 назвали победителя одинаково). 
P(D) = 10*(9/1000) = 9/100, потому что вероятность того, что с1 и с2 назовут данного конкретного гимнаста, а с3 другого, равна (1/10)*(1/10)*(9/10) = 9/1000, а всего гимнастов 10. 
P(C) = 3*(9/100) = 27/100, 
P(A) = 1/100 + 27/100 = 28/100.

Получается, что в 28 случаях из 100, или, что то же самое, в 7 из 25. 

Задание 7. В урне лежат 10 жетонов с числами 1, 2, 3, …, 10. Из нее, не выбирая, вынимают 3 жетона. Во скольких случаях сумма написанных на них чисел не меньше 9?

РЕШЕНИЕ

Варианты, когда сумма <9: 1,2,3; 1,2,4; 1,2,5; 1,3,4 - всего 4 штуки. Всего вариантов выбора 3-х чисел (без учета порядка) 10*9*8/(2*3)=10*3*4=120. Итого в 116 случаях из 120 сумма чисел будет >=9. 

Задание 8. Человек имеет 6 друзей и в течении 20 дней приглашает к себе 3 из них так, что компания ни разу не повторяется. Сколькими способами может он это сделать?

РЕШЕНИЕ

Количество  выборок 3 из 6 равно 6!/3!3! = 20. Трех друзей из шести можно выбрать двадцатью  способами. 

Задание 9. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 47 человек, с сыром – 38 человек, с ветчиной – 42 человека, и с сыром и с колбасой – 28 человек, и с колбасой и с ветчиной – 31 человек, и с сыром и с ветчиной – 26 человек. Все три вида бутербродов взяли 25 человек, а несколько человек вместо бутербродов захватили с собой пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?

РЕШЕНИЕ

Обозначим через A 1 – множество людей, взявших  бутерброды с колбасой, A 2

– множество  людей, взявших бутерброды с сыром, A 3 – множество людей, взявших  бутерброды

с ветчиной, A 4 –  множество людей, взявших только пирожки. По условию

   | A 1 U A 2 U A 3 U A 4 | = 92; | A 1 | = 47; | A 2 | = 38; | A 3 | = 42; | A 4 | − ? | A 1 I A 2 | = 28; 

         | A 1 I A 3 |= 31; | A 1 I A 4    = 0; | A 2 I A 3 | = 26; | A 2 I A 4 | = 0; | A 3 I A 4 | = 0; 

           | A 1 I A 2 I A 3 | = 25; | A 1 I A 2 I A 4 | = | A 1 I A 3 I A 4 | = | A 2 I A 3 I A 4 | = 0; 

                                           | A 1 I A 2 I A 3 I A 4 |= 0.

        По правилу включения-исключения  можно выразить число людей,  поехавших на

загородную прогулку с помощью формулы:

                               4

   | A1 U A 2 U A 3 U A 4 | = ∑ | A i | −    ∑| Ai I A j | + ∑| Ai I A j I A k | − | A1I A 2 I A3 I A 4 | .

                              i −1        1≤ i < j≤ 4             1≤i < j<k ≤ 4

       Подставляя указанные выше числовые  значения, получим уравнение для  нахождения

неизвестного | A 4 | . 

                    92 = 47 + 38 + 42 + | A 4 | – (28 + 31 + 26) + 25 + 0 + 0 + 0 – 0, 

                                            92 = 127 + | A 4 | – 85 + 25, 

                                                         | A 4 | = 25. 

Задание 10. Найти решение задачи, состоящей в определении максимального значения функции:

   

  при условиях

     

РЕШЕНИЕ

Выражаем х3,х4,х5 через х1 и х2, подставляем в F. 
Имеем: F=2x1+3x2-3. 
Условия х1,...,х5 >=0 перепишутся в виде 
х1+х2<=5 
2x1+x2<=9 
x1+2x2<=7 
x1>=0 
x2>=0 
Складывая первое и третие неравенства, имеем: 2х1+3х2<=12. 
следовательно, F<=9. Значение 9 достигается, например, при х1=3, х2=2. 
Эти значения, как легко видеть, удовлетворяют всем условиям