Контрольная работа по "Математический анализ"

 

 

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет»

 

Центр дистанционного образования

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине: Математический анализ

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студентка группы ЭПБ-13 Ом

Власова А.В

Проверил: преподаватель

Князева О,О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 2

 

Задание 1:  Пределы функции

Вычислить пределы:

          

 

Решение:

a)  

 

 

 b) 

 

 

 

 

 

 

 

 

c)

 

 

 

=

 

 

ЗАДАНИЕ 2.    Исследование функции.

Используя дифференциальное исчисление, провести полное

исследование функции и построить ее график:     

 

Решение:  

    1) Область определения функции D(y):  

    2) Множество значений функции E(y):   
    3) Проверим, является ли функция четной или нечетной:  
 
Так как  , то функция не является ни четной ни нечетной.  
    4) Найдем координаты точек пересечения графика функции с осями координат:

а)  с осью ОУ:  х=0;   
График пересекает ось ординат  в точке

б) с осью ОХ:  у=0; 

График функции пересекает ось абсцисс в точках: 

5. Найдем промежутки возрастания и убывания функции, а так же точки экстремума:

 
Так как на промежутке , то на этом промежутке функция убывает.  
Так как на промежутке , то на этом промежутке функция возрастает.  
Так как при переходе через точку производная меняет свой знак с - на + то в этой точке функция имеет минимум:  
6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

 

                         
 
Так как , на всей области определения, то график функции направлен выпуклостью  вниз.  
Так как  то график функции не имеет точек перегиба 
7) Так как точек разрыва функция не имеет, то она не имеет вертикальных асимптот. Проверим, имеет ли данная функция  наклонные асимптоты:

б)  Наклонные асимптоты вида 

 
  следовательно наклонных асимптот функция не имеет

 

8) Построим график данной функции:

 

 

 

ЗАДАНИЕ 3.  Неопределенный интеграл

Вычислить неопределенные интегралы, используя методы

интегрирования:

а) – непосредственное интегрирование;

б) – замены переменной;

в) – интегрирования по частям.

    

Решение: 

 

а)   

 

б)  

 

 

 

c)   

 

 

 

ЗАДАНИЕ 4.    Определенный интеграл.

4.1 Вычислить определенный интеграл:

 

 

Решение: 

 

 

 

 

 

4.2  Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными

кривыми. Сделать чертеж.

 

 

Решение:   

 

Выполним чертеж:

 

 

ЗАДАНИЕ 5.   Несобственный интеграл.

Вычислить интеграл или установить его расходимость:

 

 

Решение:  

а) 

 

 

 

Тогда получаем: 

 

 

 

 

б) 

 

ЗАДАНИЕ 6.    Ряды.

 

6.1 Числовые ряды. Исследовать  ряд на сходимость:

 

 

Решение:   Воспользуемся интегральным признаком сходимости

 

  Следовательно  ряд сходится

 

6.2 Степенные ряды. Определить область сходимости степенного ряда:

 

 

Решение:   Воспользуемся

 

Радиус сходимости ряда равен: 

Область сходимости ряда есть промежуток (-3; 3) , внутри промежутка ряд сходится, проверим сходимость ряда на концах этого промежутка:

а)  при х=3 получаем ряд:

 

 

Ряд расходится

б)   

получили знакопеременный ряд, который не удовлетворяет признакам сходимости знакопеременного ряда, следовательно он расходится

Итак, область сходимости (-3; 3)

 

ЗАДАНИЕ 7.  Функции нескольких переменных

Исследовать функцию двух переменных на экстремум:

 

Решение:

Найдем стационарные точки, решив систему:  

  Получили  одну стационарную точку М(0; 0), проверим выполняется ли для  этой точки достаточное условие  экстремума.

Найдем частные производные второго порядка:

 

 

 

Тогда   Вопрос о наличии экстремума остается открытым. Проведем дополнительные исследования:

а) при х=0, получаем функцию  
, которая в точке у=0 имеет минимум

б)  при у=0, получаем функцию  
, которая в точке x=0 не имеет экстремума

Следовательно функция в точке М(0; 0) не имеет экстремума

 

ЗАДАНИЕ 8.  Решение дифференциальных уравнений.

8.1 Найти общее и частное решения дифференциального уравнения:

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

 

 

Итак, частное решение имеет вид: 

 

8.2. Найти частное решение дифференциального уравнения,

удовлетворяющее заданным начальным условиям :

 

 

Решение:  Найдем корни характеристического уравнения:

 

 

Так как корни характеристического уравнения мнимые числа, то общее уравнение имеет вид:

 

Найдем частное решение удовлетворяющее начальным условиям, для этого решим систему:

 

 

Тогда частное решение имеет вид: