Контрольная работа по "Линейной алгебре"

Вариант 3.

1. Решить матричное уравнение , где .

Решение. Приведем заданное матричное уравнение к простейшему виду:

Обозначим , тогда

.

Найдем матрицу  , складывая  поэлементно матрицу и скалярную матрицу числа «2» одинакового размера [2, с.6]:

.

 

Составим и вычислим определитель матрицы по формуле 1.3 [1, с.17]:

,                                 (1.1)

.

Так как  , следовательно, матрица невырожденная, тогда существует обратная к ней матрица [1, с.26].

Разрешим  уравнение  относительно , умножая обе его части на слева:

.

По [1,с.26] , тогда . Поскольку , то решение матричного уравнения имеет вид:

.

Найдем обратную матрицу  формуле 1.14 [1, с.27]:

,                                                        (1.2)

где    - определитель матрицы ;

          -  присоединенная матрица, элементы которой равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы , транспортированной к матрице .

Найдем матрицу  , транспортированной к матрице , меняя строки и столбцы местами с сохранением порядка [2, с.6]:

.

Определим алгебраические дополнения всех элементов транспортированной матрицы по формуле 1.8 [1, с.20]:

,                                               (1.3)

где     - минор элемента , полученный вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца.

;    ;

;  ,

то есть .

Обратная матрица  .

Проверим правильность вычисления обратной матрицы  по формуле 1.13 [1, с.26]:

,                                         (1.4)

где   - единичная матрица.

Найдем произведение матриц, умножая  i-ую строку первой матрицы на j-ый столбец второй матрицы [2, с.6]:

;

.

Равенство выполняются, следовательно, обратная матрица найдена верно.

Найдем матрицу  , транспортированной к матрице , меняя строки и столбцы местами с сохранением порядка [2, с.6]:

.

Найдем , умножая i-ю строку матрицы на j-й столбец матрицы  [2, с.6]:

.

.

Проверка. Подставим найденное значение  в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного  уравнения, таким образом, решение  матричного уравнения найдено верно.

Ответ: или .

 

2. По формулам Крамера решить систему уравнений:

Решение. Составим и вычислим главный определитель матрицы системы линейных уравнений [2, с.11]:

Так как  , следовательно, по теореме Крамера система имеет единственное решение.

По формулам Крамера 2.8 [1, с.41]:

,                                          (2.1)

где   - определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой j-ого столбца столбцом свободных членов;

- определитель матрицы системы линейных уравнений.

Вычислим определители матриц , и , полученных из матрицы заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

; ; .

Проверка. Подставим  ; ; в исходную систему уравнений:

Уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение системы найдено верно.

Ответ: (0; 1; 2).

 

3. Методом Гаусса решить систему уравнений:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы.

 

Шаг 1. Так как , то умножим элементы первой строки на , , и прибавим их соответственно к элементам второй, третьей и четвертой строк.

 

 

 

 

Для проведения второго  шага необходимо, чтобы  , но удобнее, чтобы или . Поэтому переставим вторую и четвертую строку местами.

Шаг 2. Элементы второй строки умножим на , и прибавим их соответственно к элементам третьей и четвертой строк.

 

.

Следовательно, ранг матрицы системы . Так как < (числа переменных), то система уравнений неопределенная и имеет бесконечное множество решений [1, с.48].

Определитель при переменных , (базисный минор) отличен от нуля: , эти переменные берем за основные. Остальные, неосновные переменные , (с их коэффициентами) переносим в правые части уравнений:

, откуда

  ;

.

Задавая неосновным переменным произвольные значения и , найдем бесконечное множество решений системы уравнений:

; ; ; .

Проверка. Подставим  ; ; ; в исходную систему уравнений:

Уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение системы найдено верно.

Ответ: ( ; ; ; ).

 

4. Найти угол между векторами и , если известно, что , , , , а угол между векторами и равен .

Решение. Искомый угол определяется по формуле 3.6 [1, с.67]:

,                                                     (4.1)

где     и .

Используя формулы 3.3 и 3.4 [1, с.67], найдем скалярное произведение векторов и и их длины.

Шаг  (1).  Подставляем выражения векторов и .

Шаг (2). Раскрываем скобки по правилу умножения многочленов, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения.

Шаг (3). В первом и последнем слагаемом записываем скалярные квадраты векторов, исходя из того, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: и . Во втором и третьем слагаемом используем коммутативное свойство скалярного произведения: .

Шаг (4).  Приводим подобные.

Шаг (5). Второе слагаемое раскладываем в виде .

Шаг(6). Подставляем заданные , и проводим окончательные вычисления.

Получили, что скалярное произведение векторов и равно «0»: .

Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы ортогональны [2, п.10, с.63], следовательно, , то есть .

Ответ: (или 90°).

 

5. Определить вид и расположение кривой второго порядка . Составить уравнение прямой, проходящей через ее центр перпендикулярно прямой . Сделать чертеж.

Решение. Кривая второго порядка задана уравнением в виде: .

Преобразуем уравнение. Объединим члены с одной переменной:

 Дополним выражения в скобках до полных квадратов:

Лишние свободные члены  из скобок «убираем» и переносим  вправо, тождественно преобразуя левую  часть:

 или

Получили уравнение кривой второго порядка, которое определяет окружность [1, ф.4.11, с.105]:

,                                      (5.1)

где     и – координаты центра окружности;

          R – радиус окружности.

Таким образом, - уравнение окружности с центром и радиусом , (рис.1).

Составим уравнение прямой СD, проходящей через центр окружности перпендикулярно прямой .

Уравнение прямой СD составим по известной точке «О» (центру окружности) и направляющему вектору .

Прямая  , следовательно, || , то есть в качестве направляющего вектора прямой CD принимаем нормальный вектор прямой AB. Тогда уравнение прямой СD [2]:

,                                                  (5.2)

где     и – координаты точки, принадлежащей прямой;

  и - координаты направляющего вектора прямой.

Общее уравнение прямой на плоскости по формуле  4.8 [1, с.100]:

,                                               (5.3)

где      , - координаты точки, принадлежащей прямой;

             , - координаты вектора нормали к прямой.

          

         

- уравнение прямой CD.

Рис. 1.

 

Ответ: окружность с центром О(-1;2), R=4; 2x - y + 4 = 0.

 

6. Найти угол между прямой и плоскостью .

Решение. Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и её проекцией на плоскость, определяется по формуле 4.50 [2, с.120]:

,                            (6.1)

где    , , -  координаты направляющего вектора прямой.

, , - координаты вектора нормали к плоскости.

Каноническое уравнение прямой в пространстве по формуле 4.44 [2, с.119]:

,                                       (6.2)

где      , , - координаты точки, принадлежащей прямой;

           , , - координаты направляющего вектора прямой.

 

Общее уравнение плоскости по формуле 4.38 [1, с.119]:

,                                       (6.3)

где      , , - координаты точки, принадлежащей плоскости;

             , , - координаты вектора нормали к плоскости.

Ответ: .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

 

1. Высшая  математика для экономистов: учебник / под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002–2004.

2. Высшая  математика для экономистов: практикум  / под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.

3. Малугин В.А. Математика для экономистов. Линейная алгебра: Курс лекций. — М.: Эксмо, 2006.