Контрольная работа по "Линейная алгебра"

Контрольная работа №1

Вариант №1

Задача 1. Даны  координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. А1(7, 7, 6), А2(5, 10, 6), А3(5, 7, 12), А4(7, 10, 4). Найти: 1) уравнение прямой, на которой лежит ребро А1А2; 2) уравнение плоскости, на которой лежит грань А1А2А3; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объём пирамиды.

Решение

1. Прямая, на которой лежит ребро А1А2 проходит через точки А1(7, 7, 6) и А2(5, 10, 6).

Запишем уравнение этой прямой, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки и :

 

 

Для решаемой задачи:

 

2. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки:

 

Тогда уравнение плоскости, на которой лежит грань А1А2А3 запишется в виде

 

или после преобразований, получим

3. Для нахождения угла между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 надо найти нормальный вектор грани А1А2А3, который равен векторному произведению векторов и , т.е.

 

 

Синус угла между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 найдем по формуле

 

Следовательно, угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 равен

 

4. Площадь грани А1А2А3 равна

 

5. Объем пирамиды равен

 

Задача 11. Установить, какие линии определяются данными уравнениями и . Изобразить линии на чертеже.

Решение

Выделяем полный квадрат только относительно :

 

 

 

Получили уравнение параболы

 

 

Ветви параболы направлены вправо, вершина расположена в точке , т.е. в точке . Параметр .

Уединим корень в правой части уравнения и возведем обе его части в квадрат:

 

Выделим полный квадрат для :

 

 

 

 

Данное уравнение определяет эллипс с центром в точке .

 

Задача 21. 1) Записать число в алгебраической форме; 2) изобразить его на координатной плоскости; 3) записать число в тригонометрической и показательной формах; 4) вычислить ; 5) найти все корни уравнения .

Решение

1. Представим число в алгебраической форме, для чего числитель и знаменатель умножим на сопряженное знаменателю комплексное число:

 

Получим комплексное число в алгебраической форме, у которого , .

2. Изобразим число на координатной плоскости

 

 

 

3. Найдем модуль и аргумент этого числа:

 

Так как , то аргумент находим по формуле . Отсюда следует, что и тригонометрическая форма имеет вид:

 

Показательная форма:

 

 

4. Комплексное число находим по следующей формуле:

 

 

 

 

Перепишем уравнение в виде

 

В данном примере , , поэтому уравнение будет иметь 3 корня:

Общая формула:

 

 

 

 

Подставляя в формулу значение получаем первый корень:

 

Подставляя в формулу значение получаем второй корень:

 

Подставляя в формулу значение получаем третий корень:

 

Задача 31. Найти пределы, используя замечательные пределы и эквивалентные бесконечно малые функции. а) , б) .

Решение

а)

При

 

б) 

 

 

Контрольная работа №2

 

Задача 41. Дано уравнение кривой, точка и уравнение прямой . Требуется: 1) составить уравнения касательной и нормали к данной кривой в точке с абсциссой ; 2) найти точку на кривой , в которой касательная параллельна прямой .

Решение

1. Находим значение функции в заданной точке:

 

Вычисляем значение производной функции в точке :

 

Тогда уравнение касательной запишем в виде:

 

Уравнение нормали:

 

2. Найдем точку на кривой , в которой касательная параллельна прямой .

 

Обозначим эту точку , тогда – касательная в этой точке, причем из условия параллельности ее прямой следует, что (угловые коэффициенты одинаковы), а поскольку , то

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 1) ;   2)

Задача 51. Найти производные данных функций.

а)         б)

Решение

а)

 

б)

 

Задача 61. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.

 а)               б)

Решение

а)

 

Применим правило Лопиталя, которое гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных:

 

Для нашего примера:

 

 

Находим производные:

 

 

 

б)

 

Применим правило Лопиталя, которое гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных:

 

Для нашего примера:

 

 

Находим производные:

 

 

 

Ответ: а) ;  б) 1.

Задача 71. Исследовать функции с помощью производных первого и второго порядков. Найти асимптоты. Построить графики функций.

а) ,           б) .  

Решение

а)

1. Область определения  функции 

2. Так как функция непрерывна, то вертикальных асимптот нет.

3. Так как при , то график функции проходит через начало координат.

4. Функция является ни  четной ни нечетной, так как

 

5. Исследуем функцию на монотонность, для этого найдем первую производную:

 

если , то  , откуда

 

На промежутках функция возрастает, на промежутке – убывает.

 

 

6. Исследуем свойства функции, связанные со второй производной:

 

если  , то

 

На интервале функция выпукла, на интервале - вогнута.

Так как в точке вторая производная меняет знак, то при этом значении на графике функции получаем точку перегиба, ордината которой равна:

 

7. Ищем наклонные асимптоты :

 

Поскольку коэффициент равен , наклонных асимптот нет.

8. Построим график заданной  функции

 

б)

1. Областью определения  является множество .

2. Прямая является вертикальной асимптотой, так как

 

    

3. Точки пересечения с осями координат:

 

 

4. Функция является ни четной ни нечетной, так как

 

5. Экстремумы и монотонность:

Вычисляем первую производную

 

Если , то .

 

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка делит область определения функции. Функция возрастает на интервале , убывает - .

 

6. Выпуклость и точки перегиба.

Вычисляем вторую производную:

 

если  , то

 

Функция выпукла вверх на интервале , выпукла вниз на интервале .

Точка перегиба:

7. Наклонные асимптоты вида :

 

 

Наклонная асимптота .

8. Строим график функции