Контрольная работа по "Аналитической геометрии"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВАРИАНТ № 16

 

ЗадаНИЕ 1. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

      1) составить  уравнение линии ВС;

      2) составить уравнение  высоты, проведенной из вершины  А;

      3) вычислить длину  высоты, проведенной из вершины А;

      4) найти точку  пересечения медиан;

      5) вычислить внутренний  угол при вершине В;

      6) найти координаты  точки М, расположенной симметрично  точке А относительно прямой  ВС.

 

.

Решение.

1) Уравнение линии ВС:    .

.   

Ответ: уравнение линии ВС: .

2) Найдем координаты вектора  по формулам

Так как высота АН перпендикулярна  вектору  , он будет являться нормальным вектором этой прямой. Составим уравнение высоты, используя уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору нормали, т.е. уравнение при

 

.

Ответ: уравнение высоты АН: .

3) Длину высоты АН  найдем, используя формулу   , как расстояние от точки до прямой ВС: :

 

.

Ответ: длина высоты .

4) Найдем координаты точки С₁ — середины отрезка АВ:

.

Уравнение медианы СС₁ составим, используя уравнение прямой, проходящей через две точки :

.

Уравнение медианы АА₁ находится аналогично:

.

.

Уравнение медианы СС₁: ; уравнение медианы АА₁: .

Точку пересечения медиан АА₁ и СС₁  найдем, решив систему их уравнений:

     . Систему решим по  формулам  Крамера: 

.

  .

Ответ: точка пересечения медиан .

5) Найдем уравнение линии ВА, используя формулу  :

.

Выразим отсюда y и найдем - угловой коэффициент линии ВА:

Уравнение линии ВС: (см. пункт 1).

Выразим отсюда y и найдем - угловой коэффициент линии ВС:

Угол В найдем по формуле  , как угол между прямой ВА и ВС:

 

Ответ: угол .

6) Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АН, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки Н – точки пересечения прямых ВС и АН, найдем как решение системы их уравнений, то есть    . Систему решим по  формулам  Крамера:           .

.     .

Точка Н является серединой  отрезка АМ.

Ответ: .

 

ЗадаНИЕ 2. Найти  уравнение плоскости,  проходящей  через  три  точки , и расстояние  от  точки   до этой плоскости:

.

 

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки  ,   и определяется равенством

 

                                     .

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки  :

                  

Вычислим определитель, разложив его по первой строке:

 

        

Расстояние от точки  до плоскости находится по формуле .

Найдем расстояние от точки  до плоскости .

                           

ЗадаНИЕ 3. Написать канонические уравнения прямой:

Канонические уравнения  прямой в пространстве имеют вид

,

где - точка, лежащая на прямой, а - направляющий вектор прямой (ненулевой вектор, параллельный прямой).

 

Найдем точку  , лежащую на прямой. Пусть .

Тогда ,         ,         ,         ,

. Таким образом,  .

Найдем направляющий вектор прямой .

 

Таким образом, .

  Запишем канонические  уравнения:      .