Контрольная по "Математике"

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа по дисциплине «Математика»

для студентов заочного отделения

 

      1. Найти пределы функций: 

     а)  =; =

     = = =

     = = = = 0; 

     б)  = =

      =

      =

      = = =.6290; 

     в)  = =

       = = = 0;

 

      г)  = = = =

     = ln = = ln e* = 1*56/3 = 18.667; 

     д)  ; = =

     = = ; ; 

     е)  = = =

     = = + =

     = - = - =

     = = 2. 

     2. Найти производные функций: 

     а)  = =

     = ; 

     б)  = = = ;

 

      в)  = =

     = =

     = =

     = ; 

     г)  = =

     = =

     = = ; 

     д)  = ; 

     е)  ; ;

      ;  

     ж)  ; ; ;

 

      ; ; ; ; ; 

     з)  . = =

     = = ; 

     3. С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции  

      . 

     1 Знаменатель положительный не для всех значений Х, область определения функции имеет точку разрыва. отсюда IхI=7 или точки разрыва х = -7 и х=7.

     2. Функция нечетная, следовательно  график симметричен относительно  центра координат. У(-х) = -У(х). Периодической функция не является.

     3. Поскольку область определения вся вещественная ось, вертикальных асимтот график не имеет.

     4. Найдем асимптоты при в виде у = kх+b. Имеем: 

     k =

 

      b =  

     Таким образом при  асимптотой служит прямая ОХ оси координат.

     Найдем  левый и правый пределы в точках разрыва функции х=-7 и х=+7 

      =-1,19, 

        . 

     В точке (-7:-1,19) первый разрыв функции, К разрыву функции х=7 функции приближается бесконечно близко.

     5. Найдем точки пересечения с  осями координат: 

 

     Точка (0:3,86) с осью ОУ.

     6. Исследуем на возрастание и убывание: 

      =

      . 0;

 

      Это говорит о том что функция  возрастающая.

     Строим  график: 

       

     4. Найти интегралы при m=3, n=4: 

     а) =

     = : 

     б) = = пусть t = arcsin4x,

       получим  = = . 

     в) =

     = ;

      = = .  

 

      Решаем равенство и получим: 

      ; 

     аналогично  второе слагаемое 

      3 - получим =  

     подставим все в последнее равенство 

     … = + +9 + - +С. 

     г) .= = =

     = = =

       = ….избавившись 

     от  знаменателя получим 

     B+C+A=0; 25B=332; -625A=625; 25=25(B-C); 

     Т.е.: A=1; B= 13.28; C=-12.28;

 

      …= = = = 2,527766. 

     5. Вычислить интегралы или установить  их расходимость при m=3, n=4:  

     а) = … 

     пусть t = arctg(x/4), тогда  и подставим и получим 

     … = ; 

     б) =

     = 0,6880057. 

     6. Построить схематический чертеж  и найти площадь фигуры, ограниченной  линиями:  , при m=3, n=4. 

     

 

        х = -1,5, у = -18,25. 

     точки пересечения с осью ОХ: А(-4,19:0) и В(1,19:0) с осью ОУ – С(0:-16), точка перегиба – D(-1,5:-18,25) 

 

       или   

 

     Точки пересечения двух функций: 

      = и т.е.: и . 

     Площадь получиться из выражения 

      = = 49,679. 

 

      График выглядит: 

       

     7. Найти частные производные функций при m=3, n=4: 

     а) = , 

      , 

      , 

       

     б) . ; 

      ;

 

       

       

     8. Найти дифференциал функции: при m=3, n=4. 

       

     9. Для функции  в точке найти градиент и производную по направлению при m=3, n=4. 

       в точке А(-4,3) 

       

       

     grad(z) = (-0,1429:0,1875); 

      =grad(z)* ( )*cos =… 

 

      cos  

     10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции при m=3, n=4 

        

     в области, заданной неравенствами:  

      . 

       

     D=AC-B; 

     A=  

     B=  

     C=  

     D=AC-B=( )( ) - ; 

     

     

 

     

       

     найдем  

      ;  

     Получим четыре точки: 1) (2,236:7,18), (1,236:0,82), (-2,236:7,18), (-2,236:0,82). 

     A=8+7,18*7,18-8*7,18=2,11 > 0; 

      = -114,74 < 0 – нет экстремума функции,

      = 45097,12 > 0 – min функции  = 12,279;

      = 1767.38 > 0 - min функции  = 65,94;

      = -160,296 < 0 – нет экстремума функции. 

     11. Изменить порядок интегрирования  при m=3, n=4:  

      . 

      = , так как

 

      подставляя x = 0 x = 4 в последние уравнения  получим  

      . 

       

     12. Сделать чертеж и найти объем  тела, ограниченного поверхностями  , и плоскостью, проходящей через точки , и . 

     А) см. рис. 

        

     - получим уравнение плоскости,  через которую проходят точки  А, В и С.

 

      7(х-4)+7*16*(z-0)-(y-16)*4+4(z-0)+49(y-16)+16(x-4)= 

     23x-812+116z-45y=0 

     Получим пределы интегрирования:

     Для z – от 0 до z=7-0,198x+0,388y. Для у –  от 0 до у=х^2. Для х – от 0 до х=76,81(объем фигуры разбиваем пополам). 

      = =

     = = =

     =232,109 куб.ед., 

     13. Вычислить при m=3, n=4 , где , , а контур образован линиями , , .

     а) непосредственно;

     б) по формулам Грина. 

      , 

     P(x,y) = 4y+2x, Q(x,y) = 3x+2y, и контур С образован линиями 16y = 9x^3, y = 9, x = 0.

 

      = =

     = =

     = =

     = =

     = =

     = =

     = =32,4060912, 

     где пределы интегрирования были получены: 

       и у = 9, то  откуда х = 2,52. 

     14. Даны поле  и пирамида с вершинами , , , . Найти при m=3, n=4: 

       

     O(0:0:0), A(3:0:0), B(0:4:0), C(0:0:7). 

     а) поток поля через грань пирамиды в направлении нормали, составляющей острый угол с осью ;

 

      =

     = =

     = =

     = =

     = =… 

     после подстановки и преобразования однородных членов получим: 

     … = 8423,43 - 3336,03*у - 293,9*z^2 +118,98*у^2 – 24y^3 + 42y*z^2, т.е. 

     поток поля  

      = 8423,43 - 3336,03*у - 293,9*z^2 +118,98*у^2 – 24y^3 + 42y*z^2.