Конечные расширения полей

 

 

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

КОЗЬМЫ МИНИНА»

 

Факульет   Естественных,  Математических и Компьютерных Наук

Кафедра    Математики и математического образования

Направление подготовки. Профиль

Педагогическое образование. Математика, информатика

 

К У Р С О В А Я    Р А Б О Т А

На тему:    Конечные расширения полей.

 

СТУДЕНТ(КА)                                                                                         Фадеева А.Е.

                                                           (личная подпись)                                                             

РУКОВОДИТЕЛЬ   _____________________   Докт. филос.н., канд. физ.-мат. н.,

                            (личная подпись)                            профессор   В.А. Глуздов                                                     

                                                                                       

 

 

Нижний Новгород – 2014 г.

 

 

 

1. Введение;

2. Содержание работы:

2.1. Степень простого расширения  поля;

2.2. Поля разложения многочлена  и их изоморфизм;

2.3. Конечные поля;

2.4. Существование и единственность  конечных расширений полей ;

3. Заключение;

4. Литература.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

   В педагогических  вузах введена программа единого  курса алгебры и теории чисел. Главная цель этого курса—изучение  основных алгебраических систем  и воспитание алгебраической  культуры, необходимой будущему учителю для глубокого понимания целей и задач как основного школьного курса математики, так и школьных факультативных курсов.

   На мой взгляд, наиболее целесообразным является введение в школьное преподавание элементов современной абстрактной алгебры.

   Начавшийся в ХХ  веке процесс алгебраизации математики  не прекращается, а это вызывает  упорные попытки введения в  школьное математическое образование  основных алгебраических понятий.

   Математическая глубина  и необычайно широкая сфера  применения полей сочетаются с простотой ее основных положений – понятий полей, целый ряд важных теорем можно сформулировать и доказать, обладая начальными представлениями в области теории множеств. Поэтому теория полей как нельзя лучше подходит для того, чтобы показать школьникам образец современной математики.

   Кроме того, изучение  элементов теории поля полезно  для школьников, способствует их  интеллектуальному росту, проявляющемуся  в развитии и обогащении различных  сторон их мышления, качеств и  черт личности, а также воспитанию  у учащихся интереса к математике, к науке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1. Конечное расширение  поля.

 

   Пусть P — подполе  поля F. Тогда мы можем рассматривать F как векторное пространство  над P, т. е. рассматривать векторное  пространство +F, +, {wl½l P},,

где wl- операция умножения  элементов  из F на скаляр lP.

   Определение. Расширение F поля P называется конечным, если F, как векторное пространство над P, имеет конечную размерность. Эта  размерность обозначается через [F : P].

   Предложение 2.1. Если a — алгебраический элемент степени n над P, то [P (a):P]=n.

Это предложение непосредственно следует из теоремы 1.5.

   Определение. Расширение F поля P называется алгебраическим, если каждый элемент из F является  алгебраическим над P.

   Теорема 2.2. Любое  конечное расширение F поля P является  алгебраическим над P.

   Доказательство. Пусть n-размерность F над P. Теорема, очевидно, верна, если n = 0. Предположим, что n>0. Любые n+1 элементов из F линейно зависимы  над P. В частности, линейно зависима  система элементов 1, a, ..., an, т. е. существуют  в P такие элементы      с0, с1,…,cn не все равные нулю, что с0×1+ с1a+…+cn an = 0.

Следовательно, элемент a является алгебраическим над P.

   Отметим, что существуют  алгебраические расширения поля, не являющиеся конечными расширениями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поля разложения многочлена и их изоморфизм;

Поле разложения многочлена — наименьшее поле, содержащее все корни данного многочлена. Точнее, расширение L поля K называется полем разложения многочлена p над полем K, если p разлагается над полем L на линейные множители:

 

p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)

и при этом L= K(x_1,x_2,...,x_n)

Свойства

Поле разложения, по определению, является конечным алгебраическим расширением поля K.

Поле разложения многочлена существует для любого многочлена p !!!!!K[x] и определено однозначно с точностью до изоморфизма, тождественного на K.

Примеры

Поле комплексных чисел \mathbb C служит полем разложения многочлена x^2+1 над полем K вещественных чисел.

Любое конечное поле GF (q), где q=p^n, есть поле разложения многочлена многочлена x^q-x над простым подполем GF(p)\subset GF(q).

 

2.4

 

 

 

 

 

 

Определение 11.4 . Полем называется коммутативное ассоци- ативное кольцо с единицей, содержащее не

менее двух элементов, в котором всякий ненулевой элемент обратим.

Примерами полей служат поле рациональных чисел Q, поле веще- ственных чисел R, поле комплексных

чисел C. Мы знаем, что если p - простое число, то кольцо классов вычетов Zp есть поле. Кольцо Z не

является полем: в нем обратимы только ±1.

 

Если a, b - произвольные элементы поля K и b /= 0, то в K опре- делен элемент ab−1. Для этого

элемента часто используют запись

Если a, b - произвольные элементы поля K и b /= 0, то в K опре- делен элемент ab−1. Для этого

элемента часто используют запись

ab−1 def a . b

Любое поле обладает следующим важным свойством:

ab = 0 ⇒ a = 0 или b = 0.

В самом  деле, если a /= 0, то, умножая обе части равенства ab = 0

на a−1, получаем   b = 0. Существуют и другие кольца, обладающие

этим свойством, например, кольцо Z. Они называются кольцами без делителей нуля. В кольце без

делителей нуля возможно сокращение:

ac = bc (или ca = cb) и c /= 0 ⇒ a = b.

В самом деле, равенство ac = bc может быть переписано в виде (a −

− b)c = 0, откуда при c /= 0 получаем a − b = 0, т. е. a = b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

   В данной курсовой  работе рассмотрены основные  алгебраические расширения полей, во-первых, ввиду той фундаментальной  роли, которую поля играют в  современной математике, во-вторых, ввиду относительной простоты этого понятия. 

   В курсовой работе  были рассмотрены следующие виды  расширений числового поля P:

Ø Простое алгебраическое расширение поля.

Ø Составное алгебраическое расширение поля.

Ø Сепарабельные и несепарабельные расширения.

Ø Бесконечные расширения полей.

   Анализируя работу  можно сделать некоторые выводы.

 Из рассмотренных в  первых двух частях расширений, таких как:

1)   простые алгебраические  расширения;

2)   конечные расширения;

3)   составные алгебраические расширения.

Следует, что все эти виды расширений совпадают и, в частности, исчерпываются простыми алгебраическими расширениями поля P.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература:

1.  Б.Л. ван дер Варден. Алгебра, М., 1976.

2. А.И. Кострикин. Введение  в линейную алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М., 2000 г.;

 

 

1. Л.Я. Куликов. Алгебра и  теория чисел.— М.: Высш. Школа,1979.—528-538с.

2. Б.Л. Ван-дер-Варден. Алгебра.—  М.,1976 — 138-151с.,158-167с.,244-253с.

3. Э.Ф. Шмигирев, С.В. Игнатович. Теория многочленов.— Мозырь 2002.