Комплексные числа

И только в начале XIX века, когда уже была выяснена роль комплексных чисел в различных  областях математики, была разработана очень простая и естественная их геометрическая интерпретация, позволившая уяснить геометрический смысл операций над комплексными числами. Этому математика обязана Гауссу, опубликовавшему в 1831 г. свою работу по теории чисел. Тем самым был положен конец сомнениям в законном и полезном применении комплексного числа.

Вопросы для коллективного  обсуждения

1. Какие причины  вызвали необходимость расширения  множества действительных чисел  до множества комплексных чисел?

2. В чем состоит общий принцип расширения числовых множеств?

3. Определите комплексное  число. Приведите классификацию  комплексных чисел.

4. Приведите определения  операций сложения и умножения  комплексных чисел. Основываясь  на этих определениях, покажите  справедливость для комплексных чисел коммутативного, ассоциативного и дистрибутивного законов.

5. Какие комплексные  числа называют сопряженными? Чему  равно произведение комплексных  чисел?

6. Покажите на  примере как выполняется деление  комплексных чисел.

7. Докажите, что:

а) iⁿ = 1, если n делится на 4;  
б) iⁿ = i, если при делении n на 4 в остатке получаем 1;  
в) iⁿ = – 1, если при делении n на 4 в остатке получаем 2;  
г) iⁿ = – i, если при делении n на 4 в остатке получаем 3.

8. Докажите, что  квадратное уравнение с действительными коэффициентами может иметь комплексный корень, причем если такой существует, то и сопряженное комплексное число также корень этого уравнения.

9. Расскажите о  геометрической интерпретации комплексных  чисел точками координатной плоскости.

10. Расскажите о геометрической интерпретации комплексных чисел с помощью векторов.

11. Дайте определение  модуля и аргумента комплексного  числа.

12. Расскажите о  тригонометрической форме комплексного  числа. Как записать в тригонометрической  форме комплексное число, заданное в алгебраической форме. Запишите в тригонометрической форме комплексные числа:

а) i; б) – i; в) 1 + i; г) – 1 – i.

13. Покажите, что  умножение комплексных чисел  связано с поворотом (вращением).

14. Приведите формулу  Муавра и проиллюстрируйте ее применение к нахождению корней из единицы. Найдите корни 3-й степени из единицы и проиллюстрируйте их геометрически.

15. Покажите, что  квадратный корень из любого  комплексного числа существует  и имеет два значения.

16. Приведите определение  алгебраического уравнения n-й степени и его решения. Сформулируйте основную теорему алгебры.

Упражнения  для самостоятельного решения

1. Восполните операции:

а) (3 – 2i) + (4 + 5i); б) (4 – i) – (2 + 3i);

в) .

2. Докажите, что  xy = yx, для любых комплексных x и  y.

3. Докажите, что  сумма и произведение двух  комплексных сопряженных чисел  есть числа действительные.

4. Докажите, что  числа – 1 + 3i и – 1 – 3i являются  корнями квадратного уравнения x² + 2x + 10.

5. Представьте в  тригонометрической форме числа:

а) 1 – i; б) – 1 – i; в) – 1 + i; г) 1 + i.

6. Найдите корни  6-й степени из единицы и  проиллюстрируйте их геометрически.

7. Найдите результат  возведения комплексного числа  в степень: (1 + i)¹¹.

8. Докажите, что  комплексное число равно нулю  тогда и только тогда, когда  модуль его равен нулю.

9. Докажите, что  | xy | = | x |•| y |, где x и y – произвольные  комплексные числа.

10. В каких случаях  имеет место равенство | x + y | = = | x | + | y |, где x и y – комплексные числа?